Considere o campo vetorial
Usando o Teorema de Green calcule
, onde
é o circulo
. Dica: Lembre que podemos parametrizar uma circunferência usando coordenadas polares:
.
Usando o Teorema de Green calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular a integral de linha
onde
é o círculo
. A matéria envolvida aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a parametrização do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Então, nosso primeiro passo é identificar
e
no campo vetorial fornecido.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Vamos lá:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Então, nossa integral de linha virou uma integral dupla simples da constante 4 sobre a região
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é o interior do círculo
. Sabemos que a área de um círculo é
, e aqui o raio
é 3 (já que
).
Passo 6
Então, nossa integral dupla é:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
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