Considere o campo vetorial F(x, y)=(3 y-e^x) i+(7 x+raizy) j
Usando o Teorema de Green calcule ointgamma(3 y-e^x) d x+(7 x+raizy) d y, onde gamma é o circulo x^2+y^2=9. Dica: Lembre que podemos parametrizar uma circunferência usando coordenadas polares: x= r cos theta, y=r sen theta, 0 <= r <= 3,0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha onde é o círculo . A matéria envolvida aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a parametrização do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy , a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Então, nosso primeiro passo é identificar e no campo vetorial fornecido.

Passo 3

No nosso caso, partial Qpartial x = partialpartial x (7x + raizy) = 7 e partial Ppartial y = partialpartial y (3y - e^x) = 3 . Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .
Vamos lá:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = integral duplaD (7 - 3) , dx , dy = integral duplaD 4 , dx , dy
Então, nossa integral de linha virou uma integral dupla simples da constante 4 sobre a região .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região A = pi times 3^2 = 9pi , que é o interior do círculo . Sabemos que a área de um círculo é , e aqui o raio é 3 (já que ).

Passo 6

Então, nossa integral dupla é:
integral duplaD 4 , dx , dy = 4 times Área de D = 4 times 9pi = 36pi Á

Resposta

A integral de linha é igual a .

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