Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral sen 2 x1+cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a integral indefinida usando a regra de substituição:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas e como escolher uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que está no numerador: . Sabemos que a identidade trigonométrica para o seno duplo é:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição adequada. Observando o denominador 1 + cos^2 x e o numerador , percebemos que a derivada do denominador em relação a 2 sen x cos x envolve , que já está no numerador.
Vamos definir:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
Então, podemos rearranjar para encontrar dudx = 2 cos x (-sen x) = -2 sen x cos x em termos de dx:

Passo 5

Voltando à nossa integral, temos:
Substituindo por integral 2 sen x cos x1 + cos^2 x , dx = integral 2 sen x cos xu , dx , obtemos:
sen x cos x , dx

Passo 6

A integral integral -duu é uma integral básica que sabemos resolver:
integral -duu = -ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos substituir u de volta na expressão original:
- ln |1 + cos^2 x| + C

Resposta

A integral indefinida é:
- ln (1 + cos^2 x) + C

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