Considere os campos de velocidade bidimensionais listados a seguir. Verifique quais dos campos são de escoamento incompressíveis.
(a) vx=-x, vy=-y
(b) vx=3 y, vy=3 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos dois campos de velocidade bidimensionais e precisamos verificar quais deles correspondem a escoamentos incompressíveis. Para isso, vamos utilizar o conceito de divergência do campo de velocidade, que, se for zero, indica que o escoamento é incompressível.

Passo 2

Vamos analisar o item (a): nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y , partial vxpartial x = partial (-x)partial x = -1 .
Para determinar se o escoamento é incompressível, calculamos a divergência do campo de velocidade:
partial vypartial y = partial (-y)partial y = -1
Calculando as derivadas parciais:
nabla cdot v = -1 + (-1) = -2
Somando as derivadas:
Como a divergência não é zero ( ), o escoamento não é incompressível.

Passo 3

Agora, vamos analisar o item (b): nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y , partial vxpartial x = partial (3y)partial x = 0 .
Novamente, calculamos a divergência do campo de velocidade:
partial vypartial y = partial (3x)partial y = 0
Calculando as derivadas parciais:
nabla cdot v = 0 + 0 = 0
Somando as derivadas:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Resposta

Apenas o campo de velocidade do item (b) é de escoamento incompressível.

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