Um tubo de aço de 5 cm de diâmetro externo é coberto com 6,4 mm de amianto ( k=0,166 W / m K ) seguido de uma camada de 2,5 cm de fibra de vidro ( k=0,048 W / m K ). A temperatura da parede do tubo é 315^circ C, e a temperatura externa do isolamento é 38^circ C. Calcule a temperatura da interface entre o amianto e a fibra de vidro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo de aço com 5 cm de diâmetro externo, revestido primeiro com 6,4 mm de amianto e depois com 2,5 cm de fibra de vidro. A temperatura na parede do tubo é 315°C e lá fora do isolamento está 38°C. Queremos descobrir qual é a temperatura na interface entre o amianto e a fibra de vidro.
Esse problema é de condução de calor em regime estacionário através de camadas cilíndricas. A gente vai usar a lei de Fourier para condução de calor em cilindros e ver como o calor se comporta passando por essas duas camadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis e converter todas as unidades para o sistema internacional (metros) pra facilitar nossos cálculos:
  • Diâmetro externo do tubo de aço (D): 5 cm = 0,05 m
  • Espessura do amianto (L₁): 6,4 mm = 0,0064 m
  • Espessura da fibra de vidro (L₂): 2,5 cm = 0,025 m
  • Condutividade térmica do amianto (k₁): 0,166 W/mK
  • Condutividade térmica da fibra de vidro (k₂): 0,048 W/mK
  • Temperatura na parede do tubo (T₁): 315°C
  • Temperatura externa do isolamento (T₃): 38°C
  • Temperatura na interface (T₂): é o que queremos encontrar

Passo 3

Vamos lembrar da fórmula da condução de calor em regime estacionário para uma camada cilíndrica:
q = 2 pi k L (Tinterno - Texterno)ln(rexternorinterno)
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor (W)
  • é a condutividade térmica do material (W/mK)
  • é o comprimento da camada (m)
  • e são as temperaturas internas e externas
  • e são os raios externos e internos da camada
Como o comprimento é o mesmo para ambas as camadas e estamos em regime estacionário, a taxa de fluxo de calor é a mesma em ambas. Então, podemos igualar as expressões para o amianto e para a fibra de vidro.

Passo 4

Vamos calcular o raio externo do tubo de aço:
rinicial = D2 = 0,05, m2 = 0,025, m
Agora, o raio externo do amianto será:
ramianto = rinicial + L₁ = 0,025, m + 0,0064, m = 0,0314, m
E o raio externo da fibra de vidro será:
rfibra = ramianto + L₂ = 0,0314, m + 0,025, m = 0,0564, m

Passo 5

Agora, vamos escrever as expressões para a taxa de fluxo de calor em cada camada:
Para o amianto:
q = 2 pi k₁ (T₁ - T₂)ln(ramiantorinicial)
Para a fibra de vidro:
q = 2 pi k₂ (T₂ - T₃)ln(rfibraramianto)
Como 2 pi k₁ (T₁ - T₂)ln(ramiantorinicial) = 2 pi k₂ (T₂ - T₃)ln(rfibraramianto) é igual nas duas camadas:
k₁ (T₁ - T₂)ln(ramiantorinicial) = k₂ (T₂ - T₃)ln(rfibraramianto)
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por :

Passo 6

Agora, vamos isolar k₁ (T₁ - T₂) cdot ln(rfibraramianto) = k₂ (T₂ - T₃) cdot ln(ramiantorinicial) :
k₁ ln(rfibraramianto) T₁ - k₁ ln(rfibraramianto) T₂ = k₂ ln(ramiantorinicial) T₂ - k₂ ln(ramiantorinicial) T₃
Distribuindo:
k₁ ln(rfibraramianto) T₁ + k₂ ln(ramiantorinicial) T₃ = ( k₁ ln(rfibraramianto) + k₂ ln(ramiantorinicial) ) T₂
Agrupando os termos com T₂ = k₁ ln(rfibraramianto) T₁ + k₂ ln(ramiantorinicial) T₃ k₁ ln(rfibraramianto) + k₂ ln(ramiantorinicial) :
Finalmente, isolando :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
T₂ = 0,166 cdot ln(0,05640,0314) cdot 315 + 0,048 cdot ln(0,03140,025) cdot 38 0,166 cdot ln(0,05640,0314) + 0,048 cdot ln(0,03140,025)
Vamos calcular os logaritmos naturais primeiro:
ln(0,05640,0314) = ln(1,796) approx 0,588
ln(0,03140,025) = ln(1,256) approx 0,228
Substituindo esses valores:
T₂ = 0,166 cdot 0,588 cdot 315 + 0,048 cdot 0,228 cdot 38 0,166 cdot 0,588 + 0,048 cdot 0,228
Calculando o numerador:
0,166 cdot 0,588 cdot 315 approx 30,76
0,048 cdot 0,228 cdot 38 approx 0,417
Somando:
30,76 + 0,417 approx 31,177
Calculando o denominador:
0,166 cdot 0,588 approx 0,0977
0,048 cdot 0,228 approx 0,0109
Somando:
0,0977 + 0,0109 approx 0,1086

Resposta

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
T₂ = 31,1770,1086 approx 287,^circC
Então, a temperatura na interface entre o amianto e a fibra de vidro é aproximadamente 287°C.

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