Um tubo de aço de 5 cm de diâmetro externo é coberto com de amianto ( ) seguido de uma camada de de fibra de vidro ( ). A temperatura da parede do tubo é , e a temperatura externa do isolamento é . Calcule a temperatura da interface entre o amianto e a fibra de vidro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo de aço com 5 cm de diâmetro externo, revestido primeiro com 6,4 mm de amianto e depois com 2,5 cm de fibra de vidro. A temperatura na parede do tubo é 315°C e lá fora do isolamento está 38°C. Queremos descobrir qual é a temperatura na interface entre o amianto e a fibra de vidro.
Esse problema é de condução de calor em regime estacionário através de camadas cilíndricas. A gente vai usar a lei de Fourier para condução de calor em cilindros e ver como o calor se comporta passando por essas duas camadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis e converter todas as unidades para o sistema internacional (metros) pra facilitar nossos cálculos:
  • Diâmetro externo do tubo de aço (D): 5 cm = 0,05 m
  • Espessura do amianto (L₁): 6,4 mm = 0,0064 m
  • Espessura da fibra de vidro (L₂): 2,5 cm = 0,025 m
  • Condutividade térmica do amianto (k₁): 0,166 W/mK
  • Condutividade térmica da fibra de vidro (k₂): 0,048 W/mK
  • Temperatura na parede do tubo (T₁): 315°C
  • Temperatura externa do isolamento (T₃): 38°C
  • Temperatura na interface (T₂): é o que queremos encontrar

Passo 3

Vamos lembrar da fórmula da condução de calor em regime estacionário para uma camada cilíndrica:
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor (W)
  • é a condutividade térmica do material (W/mK)
  • é o comprimento da camada (m)
  • e são as temperaturas internas e externas
  • e são os raios externos e internos da camada
Como o comprimento é o mesmo para ambas as camadas e estamos em regime estacionário, a taxa de fluxo de calor é a mesma em ambas. Então, podemos igualar as expressões para o amianto e para a fibra de vidro.

Passo 4

Vamos calcular o raio externo do tubo de aço:
Agora, o raio externo do amianto será:
E o raio externo da fibra de vidro será:

Passo 5

Agora, vamos escrever as expressões para a taxa de fluxo de calor em cada camada:
Para o amianto:
Para a fibra de vidro:
Como é igual nas duas camadas:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por :

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Distribuindo:
Agrupando os termos com :
Finalmente, isolando :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
Vamos calcular os logaritmos naturais primeiro:
Substituindo esses valores:
Calculando o numerador:
Somando:
Calculando o denominador:
Somando:

Resposta

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
Então, a temperatura na interface entre o amianto e a fibra de vidro é aproximadamente 287°C.

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