Considere um capacitor cilíndrico de raio interno r1 e raio externo r2, e comprimento L. Um dielétrico de constante dielétrica k preenche o volume entre os dois cilindros. O capacitor é ligado a uma bateria que fornece uma diferença de potencial igual V, onde é inteiramente carregado. Determine a capacitância do capacitor na ausência do dielétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor cilíndrico com dois cilindros concêntricos: um com raio interno e outro com raio externo , além de um comprimento . Entre esses cilindros, tem um material dielétrico com constante dielétrica . Esse capacitor está ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial . A nossa missão é descobrir qual seria a capacitância desse capacitor se não tivesse o dielétrico.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de capacitância para capacitores cilíndricos e lembrar que, sem o dielétrico, a constante dielétrica vale 1. Precisamos calcular a capacitância em função desses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico sem dielétrico é dada pela fórmula:
C = 2piepsilon0Lln(r2r1)
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o comprimento do capacitor, e representa o logaritmo natural.

Passo 3

Como estamos considerando a ausência do dielétrico, a constante dielétrica é igual a 1. Portanto, não precisamos ajustar a fórmula para .

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • : representa a constante que depende do comprimento do capacitor e da permissividade do vácuo.
  • : essa parte leva em conta a razão entre os raios externo e interno dos cilindros.

Passo 5

Agora, basta substituir os valores conhecidos na fórmula para encontrar a capacitância C = 2piepsilon0Lln(r2r1) . Se não tivermos valores numéricos específicos, a expressão geral permanece:

Resposta

A capacitância do capacitor cilíndrico na ausência do dielétrico é:
C = 2piepsilon0Lln(r2r1)

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