Considere um capacitor cilíndrico de raio interno
e raio externo
, e comprimento L. Um dielétrico de constante dielétrica
preenche o volume entre os dois cilindros. O capacitor é ligado a uma bateria que fornece uma diferença de potencial igual
, onde é inteiramente carregado. Determine a capacitância do capacitor na ausência do dielétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor cilíndrico com dois cilindros concêntricos: um com raio interno
e outro com raio externo
, além de um comprimento
. Entre esses cilindros, tem um material dielétrico com constante dielétrica
. Esse capacitor está ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial
. A nossa missão é descobrir qual seria a capacitância desse capacitor se não tivesse o dielétrico.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de capacitância para capacitores cilíndricos e lembrar que, sem o dielétrico, a constante dielétrica
vale 1. Precisamos calcular a capacitância
em função desses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor cilíndrico sem dielétrico é dada pela fórmula:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é o comprimento do capacitor, e
representa o logaritmo natural.
Passo 3
Como estamos considerando a ausência do dielétrico, a constante dielétrica
é igual a 1. Portanto, não precisamos ajustar a fórmula para
.
Passo 4
Vamos identificar cada parte da fórmula:
-
: representa a constante que depende do comprimento do capacitor e da permissividade do vácuo. -
: essa parte leva em conta a razão entre os raios externo e interno dos cilindros.
Passo 5
Agora, basta substituir os valores conhecidos na fórmula para encontrar a capacitância
. Se não tivermos valores numéricos específicos, a expressão geral permanece:
Resposta
A capacitância do capacitor cilíndrico na ausência do dielétrico é: