Dois capacitores de placas planas paralelas, C1 e C2, são ligados em série com uma bateria de 96 V. Os dois capacitores possuem placas de 1,0 cm^2 de área, com uma separação de 0,1 mm entre elas. C1 contém ar entre as suas placas, enquanto C2 foi preenchido com porcelana (constante dielétrica =7, rigidez dielétrica = 7,7 kV / mm). (b) Qual é a energia total armazenada nos dois capacitores?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre dois capacitores de placas paralelas, C1 e C2, conectados em série a uma bateria de 96 V. Cada capacitor tem uma área de 1,0 cm^2 e a distância entre as placas é de 0,1 mm. O primeiro capacitor, C1, tem ar entre suas placas, enquanto o segundo, C2, está preenchido com porcelana, que tem uma constante dielétrica de 7. Nosso objetivo aqui é calcular a energia total armazenada nesses dois capacitores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a capacitância de cada capacitor, como capacitâncias em série se combinam e, finalmente, como calcular a energia armazenada usando a capacitância total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacitância de cada capacitor individualmente. A fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas é:
C = varepsilon0 varepsilonr Ad
Onde:
  • C é a capacitância,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m),
  • varepsilonr é a constante dielétrica do material entre as placas,
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Para o capacitor C1 (com ar):
  • varepsilonr = 1 (já que é ar),
  • A = 1,0 cm^2 = 1,0 times 10^-4 m^2,
  • d = 0,1 mm = 1,0 times 10^-4 m.
Aplicando os valores na fórmula:
C1 = 8,85 times 10^-12 times 1 times 1,0 times 10^-41,0 times 10^-4 = 8,85 times 10^-12 , F
Para o capacitor C2 (com porcelana):
  • varepsilonr = 7,
  • A e d são os mesmos.
Aplicando os valores:
C2 = 8,85 times 10^-12 times 7 times 1,0 times 10^-41,0 times 10^-4 = 6,195 times 10^-11 , F

Passo 3

Agora que temos as capacitâncias individuais, vamos calcular a capacitância equivalente quando os capacitores estão ligados em série. A fórmula para capacitores em série é:
1Ctotal = 1C1 + 1C2
Substituindo os valores que encontramos:
1Ctotal = 18,85 times 10^-12 + 16,195 times 10^-11
Calculando cada termo:
18,85 times 10^-12 approx 1,13 times 10^11 , F^-1
16,195 times 10^-11 approx 1,61 times 10^10 , F^-1
Somando-os:
1Ctotal approx 1,13 times 10^11 + 1,61 times 10^10 = 1,29 times 10^11 , F^-1
Invertendo para encontrar Ctotal:
Ctotal = 11,29 times 10^11 approx 7,75 times 10^-12 , F

Passo 4

Com a capacitância total em mãos, podemos agora calcular a energia armazenada nos capacitores. A fórmula para a energia armazenada em um capacitor é:
U = 12 C V^2
Onde:
  • U é a energia armazenada,
  • C é a capacitância,
  • V é a voltagem aplicada.
Substituindo os valores:
U = 12 times 7,75 times 10^-12 times (96)^2
Calculando os valores:
U = 12 times 7,75 times 10^-12 times 9216
U = 12 times 7,75 times 10^-12 times 9216 approx 3,57 times 10^-8 , J

Resposta

A energia total armazenada nos dois capacitores é aproximadamente 3,57 times 10^-8 , J.

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