Resolva o problema de projéteis utilizando a segunda lei de Newton, considerando o atrito nulo. (a) Obtenha as equações para x(t), x(t), z(t), v((t) (para x0 e^z0=0 ). (b) Obtenha em detalhes a equação da trajetória deste projétil e faça um esboço do movimento indicando os valores de x (máximo) e z (máximo).

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse problema de projéteis usando a segunda lei de Newton. A gente vai trabalhar com movimento sem atrito, então fica mais simples. Precisamos encontrar as equações que descrevem a posição e a velocidade do projétil ao longo do tempo, além da trajetória dele. Vamos precisar usar conceitos de física como forças, aceleração e as próprias leis do movimento.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a segunda lei de Newton? Ela diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m cdot a
No caso do projétil, as forças que atuam são a força da gravidade e, como estamos considerando atrito nulo, não tem mais nada. Então, a força resultante é apenas a força gravitacional.

Passo 3

Vamos decompor o movimento nas direções horizontal (x) e vertical (z). Como não tem força na direção horizontal, a aceleração nessa direção é zero:
Fx = 0 = m cdot ax Rightarrow ax = 0
Já na direção vertical, a única força é a da gravidade, que aponta para baixo:
Fz = -m cdot g = m cdot az Rightarrow az = -g
Onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Agora, vamos integrar as acelerações para encontrar as velocidades. Como vx(t) = vx0 , a velocidade horizontal vz(t) = vz0 - g cdot t é constante:
Na vertical, a velocidade varia com o tempo devido à aceleração da gravidade:

Passo 5

Vamos integrar novamente para encontrar as posições. Na horizontal:
x(t) = x0 + vx0 cdot t
Na vertical:
z(t) = z0 + vz0 cdot t - 12 g cdot t^2
Como x(t) = vx0 cdot t e z(t) = vz0 cdot t - 12 g cdot t^2 , as equações ficam:

Passo 6

Agora, vamos montar a equação da trajetória substituindo t = xvx0 da equação de z(x) = vz0 cdot ( xvx0 ) - 12 g cdot ( xvx0 )^2 na de z(x) = ( vz0vx0 ) x - g2 vx0^2 x^2 . Da equação de :
Substituindo na equação de :
Simplificando:
Essa é a equação da trajetória do projétil.

Passo 7

Para encontrar os valores máximos de 0 = vz0 - g cdot t Rightarrow t = vz0g e zmáx = vz0 cdot vz0g - 12 g cdot ( vz0g )^2 = vz0^22g , vamos analisar o movimento:
  • Máximo de 0 = vz0 cdot t - 12 g cdot t^2 : É o ponto mais alto da trajetória. Atinge quando a velocidade vertical é zero. Usando t (vz0 - 12 g t) = 0 :
t = 2 vz0g
Substituindo na equação de xmáx = vx0 cdot 2 vz0g = 2 vx0 vz0g :
á
  • Máximo de : É o alcance horizontal, que acontece quando o projétil retorna ao solo ( ). Resolvendo :
Fatorando :
Desprezando , temos:
Substituindo na equação de :
á

Resposta

(a) As equações do movimento são:
x(t) = vx0 cdot t
z(t) = vz0 cdot t - 12 g cdot t^2
vx(t) = vx0
vz(t) = vz0 - g cdot t
(b) A equação da trajetória é:
z(x) = ( vz0vx0 ) x - g2 vx0^2 x^2
Os valores máximos são:
  • Máximo de zmáx = vz0^22g :
xmáx = 2 vx0 vz0g á
  • Máximo de :
á

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