Resolva o problema de projéteis utilizando a segunda lei de Newton, considerando o atrito nulo. (a) Obtenha as equações para (para ). (b) Obtenha em detalhes a equação da trajetória deste projétil e faça um esboço do movimento indicando os valores de x (máximo) e z (máximo).

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse problema de projéteis usando a segunda lei de Newton. A gente vai trabalhar com movimento sem atrito, então fica mais simples. Precisamos encontrar as equações que descrevem a posição e a velocidade do projétil ao longo do tempo, além da trajetória dele. Vamos precisar usar conceitos de física como forças, aceleração e as próprias leis do movimento.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a segunda lei de Newton? Ela diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No caso do projétil, as forças que atuam são a força da gravidade e, como estamos considerando atrito nulo, não tem mais nada. Então, a força resultante é apenas a força gravitacional.

Passo 3

Vamos decompor o movimento nas direções horizontal (x) e vertical (z). Como não tem força na direção horizontal, a aceleração nessa direção é zero:
Já na direção vertical, a única força é a da gravidade, que aponta para baixo:
Onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Agora, vamos integrar as acelerações para encontrar as velocidades. Como , a velocidade horizontal é constante:
Na vertical, a velocidade varia com o tempo devido à aceleração da gravidade:

Passo 5

Vamos integrar novamente para encontrar as posições. Na horizontal:
Na vertical:
Como e , as equações ficam:

Passo 6

Agora, vamos montar a equação da trajetória substituindo da equação de na de . Da equação de :
Substituindo na equação de :
Simplificando:
Essa é a equação da trajetória do projétil.

Passo 7

Para encontrar os valores máximos de e , vamos analisar o movimento:
  • Máximo de : É o ponto mais alto da trajetória. Atinge quando a velocidade vertical é zero. Usando :
Substituindo na equação de :
á
  • Máximo de : É o alcance horizontal, que acontece quando o projétil retorna ao solo ( ). Resolvendo :
Fatorando :
Desprezando , temos:
Substituindo na equação de :
á

Resposta

(a) As equações do movimento são:
(b) A equação da trajetória é:
Os valores máximos são:
  • Máximo de :
á
  • Máximo de :
á

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