Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto tangente ao eixo , esboçados abaixo, bem como a região indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região que está entre dois círculos: um centrado na origem com raio 2 e outro centrado no ponto que é tangente ao eixo . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos dois círculos:
  1. O primeiro círculo é centrado na origem e tem raio 2. Sua equação é .
  2. O segundo círculo é centrado em e é tangente ao eixo . Como é tangente ao eixo , a distância do centro ao eixo é igual ao raio. Portanto, o raio desse círculo também é 1. Sua equação é .
A região é a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo círculo.

Passo 3

Agora, vamos migrar para as coordenadas polares. Lembrando que:
A integral dada é:
Primeiro, vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares:
Então, a integral passa a ser:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para e .
Para :
  • O menor valor de é o raio do círculo menor mais próximo ao originador que é .
  • O maior valor de é o raio do círculo maior, que é .
Para , como os círculos estão centrados no eixo e são simétricos, varia de a .
Então, os limites são:
Agora, vamos configurar a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
A integral de de a é zero, porque a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral dupla é igual a zero.

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Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos e indicados na figura.
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo e fora da cardioide.