Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto
tangente ao eixo
, esboçados abaixo, bem como a região
indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla
usando coordenadas polares.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região
que está entre dois círculos: um centrado na origem com raio 2 e outro centrado no ponto
que é tangente ao eixo
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos dois círculos:
- O primeiro círculo é centrado na origem
e tem raio 2. Sua equação é . - O segundo círculo é centrado em
e é tangente ao eixo . Como é tangente ao eixo , a distância do centro ao eixo é igual ao raio. Portanto, o raio desse círculo também é 1. Sua equação é .
A região
é a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo círculo.
Passo 3
Agora, vamos migrar para as coordenadas polares. Lembrando que:
A integral dada é:
Primeiro, vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares:
Então, a integral passa a ser:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
e
.
Para
:
- O menor valor de
é o raio do círculo menor mais próximo ao originador que é . - O maior valor de
é o raio do círculo maior, que é .
Para
, como os círculos estão centrados no eixo
e são simétricos,
varia de
a
.
Então, os limites são:
Agora, vamos configurar a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
A integral de
de
a
é zero, porque a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam.
Resposta
A integral dupla é igual a zero.
Exercícios relacionados
Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos
e
indicados na figura.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
Calcule o volume do sólido
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo
e fora da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região