Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto (1,0) tangente ao eixo y, esboçados abaixo, bem como a região R indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla integral duplaR 5 yx^2+y^2 d A usando coordenadas polares.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região que está entre dois círculos: um centrado na origem com raio 2 e outro centrado no ponto que é tangente ao eixo . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos dois círculos:
  1. O primeiro círculo é centrado na origem e tem raio 2. Sua equação é .
  2. O segundo círculo é centrado em e é tangente ao eixo . Como é tangente ao eixo , a distância do centro ao eixo é igual ao raio. Portanto, o raio desse círculo também é 1. Sua equação é .
A região é a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo círculo.

Passo 3

Agora, vamos migrar para as coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta
y = r sintheta
dA = r , dr , dtheta
A integral dada é:
integral duplaR 5yx^2 + y^2 , dA
Primeiro, vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares:
5yx^2 + y^2 = 5(r sintheta)r^2 = 5 sinthetar
Então, a integral passa a ser:
integral duplaR 5 sinthetar cdot r , dr , dtheta = 5 integral duplaR sintheta , dr , dtheta

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para r: 1 a 2 e theta: 0 a 2pi .
Para 5 integral0^2pi integral1^2 sintheta , dr , dtheta :
  • O menor valor de é o raio do círculo menor mais próximo ao originador que é .
  • O maior valor de é o raio do círculo maior, que é .
Para , como os círculos estão centrados no eixo e são simétricos, varia de a .
Então, os limites são:
Agora, vamos configurar a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a integral1^2 sintheta , dr = sintheta cdot (2 - 1) = sintheta :
5 integral0^2pi sintheta , dtheta
Agora, a integral fica:
A integral de de a é zero, porque a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral dupla é igual a zero.

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