Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla iterada . O objetivo é reescrever essa integral usando coordenadas polares e depois calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, e . Além disso, o elemento de área em cartesianas é , que em polares vira . Também, .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 2. Em coordenadas polares, isso significa que:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Aqui, e . Além disso, multiplicamos pelo jacobiano .

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos separar as integrais, já que não depende de :

Passo 7

Calculando cada parte:

Resposta

Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é 4.

Exercícios relacionados

Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto tangente ao eixo , esboçados abaixo, bem como a região indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos e indicados na figura.
Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo e fora da cardioide.
Considere o sólido delimitado inferiormente pelo plano , superiormente pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro .
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.