Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla iterada . O objetivo é reescrever essa integral usando coordenadas polares e depois calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, e . Além disso, o elemento de área em cartesianas é , que em polares vira . Também, .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 a .
Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 2. Em coordenadas polares, isso significa que:
varia de 0 a 2.
varia de 0 a .
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Aqui, e . Além disso, multiplicamos pelo jacobiano .
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos separar as integrais, já que não depende de :