Considere a integral dupla iterada I=integral0^2 integral0^raiz4-x^2 y raizx^2+y^2 d y d x. Escreva I como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla iterada . O objetivo é reescrever essa integral usando coordenadas polares e depois calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, e . Além disso, o elemento de área em cartesianas é , que em polares vira . Também, .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 2. Em coordenadas polares, isso significa que:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
I = integral0^pi2 integral0^2 (r sintheta) cdot r cdot r , dr , dtheta
Aqui, e . Além disso, multiplicamos pelo jacobiano .

Passo 5

Simplificando a expressão:
I = integral0^pi2 integral0^2 r sintheta cdot r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 r^3 sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos separar as integrais, já que I = integral0^pi2 sintheta , dtheta cdot integral0^2 r^3 , dr não depende de :

Passo 7

Calculando cada parte:
integral0^pi2 sintheta , dtheta = -costheta |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
integral0^2 r^3 , dr = r^44 |0^2 = 164 - 0 = 4

Resposta

Multiplicando os resultados:
I = 1 cdot 4 = 4
Então, o valor da integral é 4.

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