Considere uma carga pontual q em movimento hiperbólico no eixo x: w(t)=raizb^2+c^2 t^2 x ( b é constante, c é velocidade da luz e -infty.
© Encontre os pontos de singularidade dos potenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga pontual $ q $ que está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo $ x $. A posição dessa carga é dada por $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante e $ c $ é a velocidade da luz. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde os potenciais elétricos e magnéticos dessa carga se tornam infinitos, ou seja, os pontos de singularidade dos potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente os potenciais de Liènard-Wiechert para cargas em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os potenciais elétrico ($ \Phi Phi é \vec{A} $) para uma carga em movimento são dados pelas fórmulas de Liènard-Wiechert:
A
Phi(r, t) = q4pi epsilon0 1|r - w(tr)| - v(tr) cdot (r - w(tr))c
Aqui, $ t_r $ é o tempo retardo, que leva em conta o tempo que a informação da posição e velocidade da carga leva para chegar até o ponto $ \vec{r} $.

Passo 3

Para encontrar os pontos de singularidade, precisamos identificar onde o denominador dessas expressões se anula, pois isso faria com que os potenciais $ \Phi $ e $ \vec{A} $ se tornassem infinitos. Ou seja, buscamos resolver:
Phi
Isso implica que a distância entre o ponto $ \vec{r} $ e a posição da carga $ \vec{w}(t_r) $ menos o produto da velocidade da carga e a componente dessa distância na direção da velocidade, dividida pela velocidade da luz, é igual a zero.

Passo 4

Vamos considerar a trajetória da carga $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $. A velocidade $ \vec{v}(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo:
w(t) = raizb^2 + c^2 t^2 , x
Agora, substituímos $ \vec{w}(t_r) $ e $ \vec{v}(t_r) $ na equação do denominador e procuramos as condições para que ele seja zero.

Passo 5

Vamos assumir que o ponto $ \vec{r} $ está ao longo do eixo $ x $, ou seja, $ \vec{r} = x , \hat{x} $. Assim, a distância $ |\vec{r} - \vec{w}(t_r)| $ simplifica para $ |x - \sqrt{b^{2} + c^{2} t_r^{2}}| $. A componente da distância na direção da velocidade é simplesmente $ x - \sqrt{b^{2} + c^{2} t_r^{2}} $, já que ambas estão alinhadas no eixo $ x $.
Substituindo na equação do denominador:
r
Simplificando:
x

Passo 6

Para que essa equação seja satisfeita, o termo dentro do valor absoluto deve tornar o denominador zero ou, seja:
|x - raizb^2 + c^2 tr^2| = c tr |x - raizb^2 + c^2 tr^2|raizb^2 + c^2 tr^2
Isso implica que:
1 = c trraizb^2 + c^2 tr^2
Quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
1 = c^2 tr^2b^2 + c^2 tr^2
Multiplicando ambos os lados por $ b^{2} + c^{2} t_r^{2} $:
b^2 + c^2 tr^2
Subtraindo $ c^{2} t_r^{2} $ de ambos os lados:
b^2 + c^2 tr^2 = c^2 tr^2

Passo 7

Chegamos a uma contradição, já que $ b $ é uma constante não nula (como dado no enunciado). Isso significa que não há solução real para $ t_r $ que satisfaça a equação do denominador igual a zero. Portanto, não existem pontos no espaço onde os potenciais elétrico e magnético se tornam infinitos para essa trajetória específica da carga.

Resposta

Não há pontos de singularidade nos potenciais para essa carga em movimento hiperbólico.

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