Considere uma carga pontual
em movimento hiperbólico no eixo
(
é constante,
é velocidade da luz e
.
© Encontre os pontos de singularidade dos potenciais.
© Encontre os pontos de singularidade dos potenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga pontual $ q $ que está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo $ x $. A posição dessa carga é dada por $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante e $ c $ é a velocidade da luz. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde os potenciais elétricos e magnéticos dessa carga se tornam infinitos, ou seja, os pontos de singularidade dos potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente os potenciais de Liènard-Wiechert para cargas em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os potenciais elétrico ($ \Phi
\vec{A} $) para uma carga em movimento são dados pelas fórmulas de Liènard-Wiechert:
Aqui, $ t_r $ é o tempo retardo, que leva em conta o tempo que a informação da posição e velocidade da carga leva para chegar até o ponto $ \vec{r} $.
Passo 3
Para encontrar os pontos de singularidade, precisamos identificar onde o denominador dessas expressões se anula, pois isso faria com que os potenciais $ \Phi $ e $ \vec{A} $ se tornassem infinitos. Ou seja, buscamos resolver:
Isso implica que a distância entre o ponto $ \vec{r} $ e a posição da carga $ \vec{w}(t_r) $ menos o produto da velocidade da carga e a componente dessa distância na direção da velocidade, dividida pela velocidade da luz, é igual a zero.
Passo 4
Vamos considerar a trajetória da carga $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $. A velocidade $ \vec{v}(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, substituímos $ \vec{w}(t_r) $ e $ \vec{v}(t_r) $ na equação do denominador e procuramos as condições para que ele seja zero.
Passo 5
Vamos assumir que o ponto $ \vec{r} $ está ao longo do eixo $ x $, ou seja, $ \vec{r} = x , \hat{x} $. Assim, a distância $ |\vec{r} - \vec{w}(t_r)| $ simplifica para $ |x - \sqrt{b^{2} + c^{2} t_r^{2}}| $. A componente da distância na direção da velocidade é simplesmente $ x - \sqrt{b^{2} + c^{2} t_r^{2}} $, já que ambas estão alinhadas no eixo $ x $.
Substituindo na equação do denominador:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa equação seja satisfeita, o termo dentro do valor absoluto deve tornar o denominador zero ou, seja:
Isso implica que:
Quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por $ b^{2} + c^{2} t_r^{2} $:
Subtraindo $ c^{2} t_r^{2} $ de ambos os lados:
Passo 7
Chegamos a uma contradição, já que $ b $ é uma constante não nula (como dado no enunciado). Isso significa que não há solução real para $ t_r $ que satisfaça a equação do denominador igual a zero. Portanto, não existem pontos no espaço onde os potenciais elétrico e magnético se tornam infinitos para essa trajetória específica da carga.
Resposta
Não há pontos de singularidade nos potenciais para essa carga em movimento hiperbólico.