Considere uma carga pontual q em movimento hiperbólico no eixo x: w(t)=raizb^2+c^2 t^2 x ( b é constante, c é velocidade da luz e -infty.
(d) Encontre os campos E e B num ponto do espaço r. [os componentes dos campos nas coordenadas cilíndricas].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. Temos uma carga pontual $ q $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ seguindo uma trajetória hiperbólica, dada por $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante, $ c $ é a velocidade da luz e $ t $ varia de q a x . Nossa missão é encontrar os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ em um ponto qualquer do espaço $ \vec{r} $, expressando esses campos nas coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que descrevem os campos gerados por uma carga em movimento, conhecidas como Campos de Liénard-Wiechert.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os campos de Liénard-Wiechert. Esses campos descrevem o campo elétrico e magnético criados por uma carga pontual que está se movendo com uma velocidade arbitrária. As fórmulas são um pouco complicadas, mas a ideia básica é que elas levam em conta tanto a posição atual da carga quanto sua velocidade e aceleração.
As expressões para os campos são:
E(r, t) = q4pivarepsilon0 ( n - betagamma^2 (1 - beta cdot n)^3 R^2 ) + q4pivarepsilon0 c ( n times [(n - beta) times dotbeta](1 - beta cdot n)^3 R )
B(r, t) = n times E
Aqui, $ \vec{n} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t) $, $ \vec{\beta} = \frac{\vec{v}}{c} $ com $ \vec{v} $ sendo a velocidade da carga, $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} $, e $ \dot{\vec{\beta}} $ é a aceleração da carga dividida por $ c $.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas à nossa situação específica. Primeiro, precisamos determinar a posição $ \vec{w}(t) $, a velocidade $ \vec{v}(t) $ e a aceleração $ \vec{a}(t) $ da carga.
Dada a posição:
w(t)
Vamos derivar em relação ao tempo para encontrar a velocidade:
v(t)
E novamente para encontrar a aceleração:
a(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \vec{\beta} $ e $ \gamma $. Sabemos que:
beta
gamma
beta = v(t)c = c traizb^2 + c^2 t^2 , x

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar o vetor $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t) $ e o vetor unitário $ \vec{n} = \frac{\vec{R}}{R} $, onde $ R = |\vec{R}| $.
Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, vamos expressar $ \vec{r} $ como:
R = r - w(t)
Então:
n = RR
R = |R|
r

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \vec{E} $. A expressão geral dos campos de Liénard-Wiechert tem duas partes: uma que depende da velocidade da carga e outra que depende da aceleração. No nosso caso, vamos considerar ambas as contribuições.
Primeiro, a parte devido à velocidade:
E
E a parte devido à aceleração:
Ev = q4pivarepsilon0 n - betagamma^2 (1 - beta cdot n)^3 R^2
Então, o campo elétrico total é:
Ea = q4pivarepsilon0 c n times [(n - beta) times dotbeta](1 - beta cdot n)^3 R

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, $ \vec{\beta} \cdot \vec{n} $:
beta cdot n
onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{\beta} $ e $ \vec{n} $. Como ambos estão no eixo $ x $ e na direção de $ \hat{\rho} $, $ \theta = 0 $, então $ \cos{\theta} = 1 $.
Então:
beta cdot n = beta costheta
Agora, substituindo $ \gamma $ e $ \beta $ nas expressões de $ \vec{E}{v} $ e $ \vec{E}{a} $.

Passo 8

Substituindo $ \gamma $ e $ \beta $ na expressão de $ \vec{E}_{v} $:
gamma
E para $ \vec{E}_{a} $:
beta

Passo 9

Agora, vamos calcular $ \vec{n} - \vec{\beta} $:
Como $ \vec{\beta} $ está na direção de $ \vec{n} $, temos:
n - beta
Então:

Passo 10

Simplificando $ \vec{E}_{v} $:
Lembrando que $ \gamma = \frac{\sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}}}{b} $, então:
Ev
E $ 1 - \beta = 1 - \frac{c t}{\sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}}} $
Substituindo na expressão de $ \vec{E}_{v} $:
gamma = raizb^2 + c^2 t^2b

Passo 11

Agora, vamos calcular $ \vec{E}_{a} $. Primeiro, precisamos calcular $ (\vec{n} - \vec{\beta}) \times \dot{\vec{\beta}} $:
Sabemos que:
Ea
E $ \vec{n} - \vec{\beta} = (1 - \beta) \vec{n} $, então:
(n - beta) times dotbeta
porque $ \vec{n} $ e $ \dot{\vec{\beta}} $ estão na mesma direção.
Portanto, $ \vec{E}_{a} = 0 $.

Passo 12

Com $ \vec{E}{a} = 0 $, o campo elétrico total fica apenas com a contribuição de $ \vec{E}{v} $:
Ea = 0

Passo 13

Agora, vamos calcular o campo magnético $ \vec{B} $. Usando a relação $ \vec{B} = \vec{n} \times \vec{E} $:
B
Isso porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre zero.

Resposta

Os campos elétrico e magnético no ponto $ \vec{r} $ nas coordenadas cilíndricas são:
r
E = q n4pivarepsilon0 cdot 1gamma^2 (1 - beta)^2 R^2

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