Considere uma carga pontual
em movimento hiperbólico no eixo
(
é constante,
é velocidade da luz e
.
(d) Encontre os campos
e
num ponto do espaço
. [os componentes dos campos nas coordenadas cilíndricas].
(d) Encontre os campos
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo a questão. Temos uma carga pontual $ q $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ seguindo uma trajetória hiperbólica, dada por $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} , \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante, $ c $ é a velocidade da luz e $ t $ varia de
a
. Nossa missão é encontrar os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ em um ponto qualquer do espaço $ \vec{r} $, expressando esses campos nas coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que descrevem os campos gerados por uma carga em movimento, conhecidas como Campos de Liénard-Wiechert.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os campos de Liénard-Wiechert. Esses campos descrevem o campo elétrico e magnético criados por uma carga pontual que está se movendo com uma velocidade arbitrária. As fórmulas são um pouco complicadas, mas a ideia básica é que elas levam em conta tanto a posição atual da carga quanto sua velocidade e aceleração.
As expressões para os campos são:
Aqui, $ \vec{n} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t) $, $ \vec{\beta} = \frac{\vec{v}}{c} $ com $ \vec{v} $ sendo a velocidade da carga, $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} $, e $ \dot{\vec{\beta}} $ é a aceleração da carga dividida por $ c $.
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas à nossa situação específica. Primeiro, precisamos determinar a posição $ \vec{w}(t) $, a velocidade $ \vec{v}(t) $ e a aceleração $ \vec{a}(t) $ da carga.
Dada a posição:
Vamos derivar em relação ao tempo para encontrar a velocidade:
E novamente para encontrar a aceleração:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \vec{\beta} $ e $ \gamma $. Sabemos que:
Passo 5
Em seguida, precisamos determinar o vetor $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t) $ e o vetor unitário $ \vec{n} = \frac{\vec{R}}{R} $, onde $ R = |\vec{R}| $.
Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, vamos expressar $ \vec{r} $ como:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \vec{E} $. A expressão geral dos campos de Liénard-Wiechert tem duas partes: uma que depende da velocidade da carga e outra que depende da aceleração. No nosso caso, vamos considerar ambas as contribuições.
Primeiro, a parte devido à velocidade:
E a parte devido à aceleração:
Então, o campo elétrico total é:
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, $ \vec{\beta} \cdot \vec{n} $:
onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{\beta} $ e $ \vec{n} $. Como ambos estão no eixo $ x $ e na direção de $ \hat{\rho} $, $ \theta = 0 $, então $ \cos{\theta} = 1 $.
Então:
Agora, substituindo $ \gamma $ e $ \beta $ nas expressões de $ \vec{E}{v} $ e $ \vec{E}{a} $.
Passo 8
Substituindo $ \gamma $ e $ \beta $ na expressão de $ \vec{E}_{v} $:
E para $ \vec{E}_{a} $:
Passo 9
Agora, vamos calcular $ \vec{n} - \vec{\beta} $:
Como $ \vec{\beta} $ está na direção de $ \vec{n} $, temos:
Então:
Passo 10
Simplificando $ \vec{E}_{v} $:
Lembrando que $ \gamma = \frac{\sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}}}{b} $, então:
E $ 1 - \beta = 1 - \frac{c t}{\sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}}} $
Substituindo na expressão de $ \vec{E}_{v} $:
Passo 11
Agora, vamos calcular $ \vec{E}_{a} $. Primeiro, precisamos calcular $ (\vec{n} - \vec{\beta}) \times \dot{\vec{\beta}} $:
Sabemos que:
E $ \vec{n} - \vec{\beta} = (1 - \beta) \vec{n} $, então:
porque $ \vec{n} $ e $ \dot{\vec{\beta}} $ estão na mesma direção.
Portanto, $ \vec{E}_{a} = 0 $.
Passo 12
Com $ \vec{E}{a} = 0 $, o campo elétrico total fica apenas com a contribuição de $ \vec{E}{v} $:
Passo 13
Agora, vamos calcular o campo magnético $ \vec{B} $. Usando a relação $ \vec{B} = \vec{n} \times \vec{E} $:
Isso porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre zero.
Resposta
Os campos elétrico e magnético no ponto $ \vec{r} $ nas coordenadas cilíndricas são: