Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através do teorema do trabalho e da energia cinética na rotação.

Passo 1

Entendendo o problema:
A gente precisa descobrir a velocidade angular de um pêndulo quando ele chega na posição vertical. Para isso, vamos usar o teorema do trabalho e da energia cinética na rotação. Basicamente, vamos relacionar a energia potencial inicial do pêndulo com a energia cinética que ele ganha ao se mover.

Passo 2

Identificando as energias envolvidas:
No ponto mais alto do pêndulo, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua posição. Quando ele passa pela posição vertical, essa energia se transforma em energia cinética rotacional. Então, vamos igualar essas duas energias para encontrar a velocidade angular.

Passo 3

Calculando a energia potencial inicial:
A energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot h ) é dada por:
Onde:
  • é a massa do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura que o pêndulo sobe.

Passo 4

Expressando a altura h = L - L cos(theta) = L (1 - cos(theta)) :
Quando o pêndulo se desloca para o ponto mais alto, ele descreve um arco de círculo. A altura pode ser relacionada ao comprimento do fio ( ) e ao ângulo máximo ( ) que ele faz com a vertical:

Passo 5

Calculando a energia cinética rotacional:
A energia cinética rotacional ( Ek = 12 I omega^2 ) é dada por:
I = m cdot L^2
Onde:
  • é o momento de inércia do pêndulo,
  • é a velocidade angular que queremos encontrar.
Para um pêndulo simples, o momento de inércia é:

Passo 6

Igualando as energias:
Segundo o teorema do trabalho e energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética rotacional:
m cdot g cdot L (1 - cos(theta)) = 12 m cdot L^2 cdot omega^2

Passo 7

Simplificando a equação:
Podemos cancelar a massa g cdot L (1 - cos(theta)) = 12 L^2 cdot omega^2 de ambos os lados:
g (1 - cos(theta)) = 12 L cdot omega^2
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Isolando a velocidade angular omega^2 = 2 g (1 - cos(theta))L :
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por omega = raiz 2 g (1 - cos(theta))L :
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical é:
omega = raiz 2 g (1 - cos(theta))L

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