Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através do teorema do trabalho e da energia cinética na rotação.
Passo 1
Entendendo o problema:
A gente precisa descobrir a velocidade angular de um pêndulo quando ele chega na posição vertical. Para isso, vamos usar o teorema do trabalho e da energia cinética na rotação. Basicamente, vamos relacionar a energia potencial inicial do pêndulo com a energia cinética que ele ganha ao se mover.
Passo 2
Identificando as energias envolvidas:
No ponto mais alto do pêndulo, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua posição. Quando ele passa pela posição vertical, essa energia se transforma em energia cinética rotacional. Então, vamos igualar essas duas energias para encontrar a velocidade angular.
Passo 3
Calculando a energia potencial inicial:
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura que o pêndulo sobe.
Passo 4
Expressando a altura
:
Quando o pêndulo se desloca para o ponto mais alto, ele descreve um arco de círculo. A altura
pode ser relacionada ao comprimento do fio (
) e ao ângulo máximo (
) que ele faz com a vertical:
Passo 5
Calculando a energia cinética rotacional:
A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia do pêndulo, -
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Para um pêndulo simples, o momento de inércia é:
Passo 6
Igualando as energias:
Segundo o teorema do trabalho e energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética rotacional:
Passo 7
Simplificando a equação:
Podemos cancelar a massa
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Isolando a velocidade angular
:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical é: