Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através da conservação da energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a velocidade angular de um pêndulo quando ele chega na posição vertical, usando a conservação da energia. Basicamente, a gente vai usar conceitos de energia potencial e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. No ponto mais alto do movimento do pêndulo, ele tem energia potencial gravitacional e pouca ou nenhuma energia cinética. Quando ele passa pela posição vertical, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética rotacional. A lei da conservação da energia diz que a energia total inicial é igual à energia total final.
Passo 3
Vamos definir as fórmulas das energias. A energia potencial gravitacional (Eₚ) no ponto mais alto é:
onde:
-
é a massa do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
A energia cinética rotacional (Eₖ) na posição vertical é:
onde:
-
é o momento de inércia do pêndulo, -
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos relacionar a altura
com o comprimento do pêndulo
e o ângulo inicial
. Quando o pêndulo está no ponto mais alto, a altura é:
Passo 5
Aplicando a conservação da energia
:
Substituindo
:
Passo 6
Para um pêndulo simples, o momento de inércia
é:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a equação. Cancelamos
dos dois lados e dividimos por
:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical é: