Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através da conservação da energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a velocidade angular de um pêndulo quando ele chega na posição vertical, usando a conservação da energia. Basicamente, a gente vai usar conceitos de energia potencial e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. No ponto mais alto do movimento do pêndulo, ele tem energia potencial gravitacional e pouca ou nenhuma energia cinética. Quando ele passa pela posição vertical, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética rotacional. A lei da conservação da energia diz que a energia total inicial é igual à energia total final.

Passo 3

Vamos definir as fórmulas das energias. A energia potencial gravitacional (Eₚ) no ponto mais alto é:
Ep = mgh
onde:
  • Ek = 12Iomega^2 é a massa do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
A energia cinética rotacional (Eₖ) na posição vertical é:
onde:
  • é o momento de inércia do pêndulo,
  • é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos relacionar a altura h = L(1 - costheta0) com o comprimento do pêndulo e o ângulo inicial . Quando o pêndulo está no ponto mais alto, a altura é:

Passo 5

Aplicando a conservação da energia mgh = 12Iomega^2 :
mgL(1 - costheta0) = 12Iomega^2
Substituindo :

Passo 6

Para um pêndulo simples, o momento de inércia I = mL^2 é:
mgL(1 - costheta0) = 12mL^2omega^2
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação. Cancelamos g(1 - costheta0) = 12Lomega^2 dos dois lados e dividimos por :

Passo 8

Isolando omega^2 = 2g(1 - costheta0)L :

Passo 9

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar omega = raiz2g(1 - costheta0)L :

Resposta

A velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical é:
omega = raiz2g(1 - costheta0)L

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