Considere uma casca esférica de raio
cuja densidade superficial de cargas
é uniformemente distribuída. Determine o vetor campo elétrico em função da posição
, e demais constantes, nas seguintes regiões:
(a)
ponto)
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio
e uma densidade superficial de carga
distribuída de maneira uniforme. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor campo elétrico em diferentes posições ao redor dessa casca. Hoje, vamos focar na região onde
, ou seja, dentro da casca esférica. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos com simetria adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo
. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
No nosso caso, queremos achar o campo elétrico dentro da casca esférica, ou seja, para
. Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio
onde
. Como a carga está distribuída apenas na casca externa de raio
, a quantidade de carga dentro da nossa superfície gaussiana é zero, já que não há carga no interior da casca.
Passo 4
Com base nisso, aplicando a Lei de Gauss:
Isso significa que o fluxo elétrico total através da nossa superfície gaussiana é zero.
Passo 5
Como a simetria da situação é esférica e uniforme, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é sempre perpendicular à superfície. Assim, podemos simplificar a integral:
Passo 6
Resolvendo para
:
Isso nos mostra que o campo elétrico dentro da casca esférica é zero.
Resposta
O vetor campo elétrico para
é: