Considere uma casca esférica de raio R cuja densidade superficial de cargas sigma é uniformemente distribuída. Determine o vetor campo elétrico em função da posição imath, e demais constantes, nas seguintes regiões:
(a) z ponto)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio e uma densidade superficial de carga distribuída de maneira uniforme. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor campo elétrico em diferentes posições ao redor dessa casca. Hoje, vamos focar na região onde , ou seja, dentro da casca esférica. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos com simetria adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo ointGauss E cdot dA = Qinternovarepsilon0 . Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

No nosso caso, queremos achar o campo elétrico dentro da casca esférica, ou seja, para . Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio onde . Como a carga está distribuída apenas na casca externa de raio , a quantidade de carga dentro da nossa superfície gaussiana é zero, já que não há carga no interior da casca.

Passo 4

Com base nisso, aplicando a Lei de Gauss:
ointGauss E cdot dA = Qinternovarepsilon0 = 0varepsilon0 = 0
Isso significa que o fluxo elétrico total através da nossa superfície gaussiana é zero.

Passo 5

Como a simetria da situação é esférica e uniforme, o campo elétrico E cdot 4pi r^2 = 0 tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é sempre perpendicular à superfície. Assim, podemos simplificar a integral:

Passo 6

Resolvendo para E = 0 :
Isso nos mostra que o campo elétrico dentro da casca esférica é zero.

Resposta

O vetor campo elétrico para E = 0 é:

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