Considere uma casca esférica de raio
cuja densidade superficial de cargas
é uniformemente distribuída. Determine o vetor campo elétrico em função da posição
, e demais constantes, nas seguintes regiões:
(b)
ponto)
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio
e densidade superficial de carga uniforme
. O objetivo é determinar o vetor campo elétrico
em função da posição
(utilizando o vetor unitário
) para a região onde
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo
:
Para uma casca esférica com carga uniformemente distribuída, a simetria esférica nos permite escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio
(onde
) centrada no mesmo ponto que a casca.
Passo 3
Como a casca tem densidade superficial de carga
e área de uma esfera é
, a carga total
na casca é:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss à superfície gaussiana de raio
, temos que o fluxo elétrico
é:
Aqui,
é a magnitude do campo elétrico na superfície gaussiana e
é a área da superfície.
Passo 5
Igualando o fluxo elétrico à carga total dividida por
:
Substituindo
pela expressão encontrada anteriormente:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Como estamos considerando a região onde
e o campo elétrico é radial, podemos expressar o vetor campo elétrico
na direção do vetor unitário
(assumindo que
está alinhado com
):
Resposta
O vetor campo elétrico para
é dado por: