Considere uma casca esférica de raio R cuja densidade superficial de cargas sigma é uniformemente distribuída. Determine o vetor campo elétrico em função da posição imath, e demais constantes, nas seguintes regiões:
(b) z>R(1,5 ponto)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio e densidade superficial de carga uniforme . O objetivo é determinar o vetor campo elétrico em função da posição (utilizando o vetor unitário ) para a região onde . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo :
Para uma casca esférica com carga uniformemente distribuída, a simetria esférica nos permite escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio (onde ) centrada no mesmo ponto que a casca.

Passo 3

Como a casca tem densidade superficial de carga Q = sigma cdot 4pi R^2 e área de uma esfera é , a carga total na casca é:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss à superfície gaussiana de raio PhiE = E cdot 4pi r^2 , temos que o fluxo elétrico é:
Aqui, é a magnitude do campo elétrico na superfície gaussiana e é a área da superfície.

Passo 5

Igualando o fluxo elétrico à carga total dividida por E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 :
E cdot 4pi r^2 = sigma cdot 4pi R^2varepsilon0
Substituindo pela expressão encontrada anteriormente:

Passo 6

Resolvendo para E = sigma R^2varepsilon0 r^2 :

Passo 7

Como estamos considerando a região onde E = sigma R^2varepsilon0 z^2 imath e o campo elétrico é radial, podemos expressar o vetor campo elétrico na direção do vetor unitário (assumindo que está alinhado com ):

Resposta

O vetor campo elétrico para E = sigma R^2varepsilon0 z^2 imath é dado por:

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