- ( 4,0 pontos) João e José trabalham em uma empresa especializada em móveis planejados. João tem três vezes mais clientes do que José. Dos clientes de João,
solicitaram um projeto para o home office. Dos clientes de José,
solicitaram um projeto para o home office. Encontrou-se um projeto na sala de reuniões assinado com a inicial J. Sem saber nenhuma informação sobre esse projeto, responda:
d) Sabendo que o projeto é para um home office, qual é a probabilidade de que ele pertença a José?
d) Sabendo que o projeto é para um home office, qual é a probabilidade de que ele pertença a José?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois profissionais, João e José, que trabalham com móveis planejados. Sabemos quantos clientes cada um tem e a porcentagem desses clientes que solicitaram projetos para home office. A gente precisa descobrir a probabilidade de que um projeto encontrado, que é para home office, pertença ao José. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja $ J $ o número de clientes do José.
- Então, o número de clientes do João é $ 3J $ (já que João tem três vezes mais clientes que o José).
Passo 3
Agora, vamos calcular o total de clientes na empresa:
Passo 4
Vamos identificar a probabilidade de um cliente ser do José e de ser do João:
- Probabilidade de o projeto ser do José: $ P(José) = \frac{J}{4J} = \frac{1}{4} $
- Probabilidade de o projeto ser do João: $ P(João) = \frac{3J}{4J} = \frac{3}{4} $
Passo 5
Agora, vamos considerar que o projeto é para home office. Sabemos que:
- $ 40% $ dos clientes do José solicitaram home office.
- $ 20% $ dos clientes do João solicitaram home office.
Então, a probabilidade do projeto ser para home office dado que é do José é:
E a probabilidade do projeto ser para home office dado que é do João é:
Passo 6
Queremos encontrar $ P(José|Home Office) $, que é a probabilidade de o projeto ser do José dado que é para home office. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes:
Passo 7
Primeiro, precisamos calcular $ P(Home Office) $, que é a probabilidade total de um projeto ser para home office. Usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que o projeto para home office pertença ao José é de $ 40% $.