1. ( 4,0 pontos) João e José trabalham em uma empresa especializada em móveis planejados. João tem três vezes mais clientes do que José. Dos clientes de João, 20 % solicitaram um projeto para o home office. Dos clientes de José, 40 % solicitaram um projeto para o home office. Encontrou-se um projeto na sala de reuniões assinado com a inicial J. Sem saber nenhuma informação sobre esse projeto, responda:
    d) Sabendo que o projeto é para um home office, qual é a probabilidade de que ele pertença a José?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois profissionais, João e José, que trabalham com móveis planejados. Sabemos quantos clientes cada um tem e a porcentagem desses clientes que solicitaram projetos para home office. A gente precisa descobrir a probabilidade de que um projeto encontrado, que é para home office, pertença ao José. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja $ J $ o número de clientes do José.
  • Então, o número de clientes do João é $ 3J $ (já que João tem três vezes mais clientes que o José).

Passo 3

Agora, vamos calcular o total de clientes na empresa:
Total de clientes = J + 3J = 4J

Passo 4

Vamos identificar a probabilidade de um cliente ser do José e de ser do João:
  • Probabilidade de o projeto ser do José: $ P(José) = \frac{J}{4J} = \frac{1}{4} $
  • Probabilidade de o projeto ser do João: $ P(João) = \frac{3J}{4J} = \frac{3}{4} $

Passo 5

Agora, vamos considerar que o projeto é para home office. Sabemos que:
  • $ 40% $ dos clientes do José solicitaram home office.
  • $ 20% $ dos clientes do João solicitaram home office.
Então, a probabilidade do projeto ser para home office dado que é do José é:
40% é
E a probabilidade do projeto ser para home office dado que é do João é:
20% ã

Passo 6

Queremos encontrar $ P(José|Home Office) $, que é a probabilidade de o projeto ser do José dado que é para home office. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes:
P(José|Home Office) ééé

Passo 7

Primeiro, precisamos calcular $ P(Home Office) $, que é a probabilidade total de um projeto ser para home office. Usamos a regra da probabilidade total:
P(Home Office) ééãã
Substituindo os valores:
P(Home Office) = P(Home Office|José) times P(José) + P(Home Office|João) times P(João)
P(Home Office) = (0,40 times 14) + (0,20 times 34)
P(Home Office) = 0,10 + 0,15

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(José|Home Office) = 0,40 times 140,25 é
P(José|Home Office) = 0,100,25 é
P(José|Home Office) = 0,40 é

Resposta

A probabilidade de que o projeto para home office pertença ao José é de $ 40% $.

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