Considere um choque normal propagando em um escoamento de ar a uma velocidade de 200 m / s na direção do choque. A temperatura é de 300 K , a razão de pressão é de 10. Calcule:
Variação de entropia total através da onda de choque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um choque normal em um fluxo de ar. O avião está se movendo a 200 m/s em direção ao choque, a temperatura inicial do ar é de 300 K e a razão de pressão após o choque é 10. Nosso objetivo aqui é calcular a variação total de entropia que ocorre através dessa onda de choque.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de termodinâmica, especialmente sobre choques normais, e usar algumas fórmulas matemáticas para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um choque normal. Em fluxos de gás, um choque normal é uma frente de onda onde ocorre uma mudança súbita nas propriedades do fluxo, como pressão, temperatura e velocidade. Essas mudanças obedecem às leis de conservação de massa, quantidade de movimento e energia.

Passo 3

A entropia é uma medida da desordem ou aleatoriedade em um sistema. Quando um choque ocorre, a entropia do sistema geralmente aumenta, indicando que o processo é irreversível.
Para calcular a variação de entropia ( De), vamos usar a seguinte fórmula para um gás ideal:
De
Onde:
  • cv é a capacidade calorífica a volume constante.
  • T1 e T2 são as temperaturas antes e depois do choque.
  • R é a constante dos gases ideais.
  • P1 e P2 são as pressões antes e depois do choque.

Passo 4

Vamos atribuir valores conhecidos e encontrar os que precisamos:
  • Temperatura inicial ( T1) = 300 K
  • Razão de pressão ( P2P1) = 10
  • Para o ar, cv approx 718 , J/(kg·K) e R = 287 , J/(kg·K)
Nos falta a temperatura pós-choque ( T2). Para encontrar T2, podemos usar a relação entre temperaturas e pressões em um choque normal:
T2T1 = P2P1 cdot (gamma - 1) M1^2 + 2(gamma + 1)^2 M1^2
Onde gamma = cpcv approx 1.4 para o ar e M1 é o número de Mach antes do choque.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o número de Mach ( M1) antes do choque. O número de Mach é dado por:
M = Va
Onde V é a velocidade do fluxo e a é a velocidade do som, que pode ser calculada por:
a = raizgamma R T
Substituindo os valores:
a = raiz1.4 times 287 times 300 approx raiz120660 approx 347.35 , m/s
Então,
M1 = 200347.35 approx 0.576

Passo 6

Agora, vamos calcular T2T1:
T2T1 = 10 times [(1.4 - 1) times (0.576)^2 + 2](1.4 + 1)^2 times (0.576)^2
Calculando passo a passo:
(1.4 - 1) times (0.576)^2 = 0.4 times 0.331 = 0.1324
0.1324 + 2 = 2.1324
(1.4 + 1)^2 times (0.576)^2 = 2.4^2 times 0.331 = 5.76 times 0.331 approx 1.907
Então,
T2T1 = 10 times 2.13241.907 approx 21.3241.907 approx 11.18
Portanto, T2 approx 11.18 times 300 approx 3354 , K

Passo 7

Agora que temos todos os valores, vamos calcular a variação de entropia:
De
Calculando os logaritmos:
ln(3354300) = ln(11.18) approx 2.414
ln(10) approx 2.302
Agora, substituindo:
De

Resposta

A variação total de entropia através da onda de choque é aproximadamente 2386.6 , J/(kg·K).

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