Considere o cilindro S1 dado por x^2+y^2=4,0 <= z <= 1, tampado com discos S2 e S3. Obtemos assim uma superfície fechada S, que orientamos com o campo normal unitário n apontando para fora. Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z).
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo integral duplaS F cdot n d S. Resposta: 12 pi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro definido pela equação com , que é fechado pelos discos nas bases, formando uma superfície fechada . O objetivo é calcular o fluxo do campo vetorial através dessa superfície . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada à integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde é a divergência do campo e é o volume limitado pela superfície . Então, para calcular o fluxo, primeiro precisamos encontrar a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1
No nosso caso:
partial Fypartial y = partial ypartial y = 1
partial Fzpartial z = partial zpartial z = 1
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3
Então,

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos calcular a integral de volume:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 3 , dV = 3 integral triplaV dV
Ou seja, precisamos calcular o volume do cilindro .

Passo 5

O volume de um cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
onde V = pi (2)^2 times 1 = 4pi é o raio da base e a altura. No nosso caso, a equação do cilindro é , então o raio . A altura vai de até , portanto .
Então,

Passo 6

Agora, substituindo o volume na integral de volume:
integral triplaV 3 , dV = 3 times 4pi = 12pi

Resposta

O fluxo é igual a .

Exercícios relacionados