Considere o cilindro
dado por
, tampado com discos
e
. Obtemos assim uma superfície fechada
, que orientamos com o campo normal unitário
apontando para fora. Considere o campo vetorial
.
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo
. Resposta:
.
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro definido pela equação
com
, que é fechado pelos discos nas bases, formando uma superfície fechada
. O objetivo é calcular o fluxo do campo vetorial
através dessa superfície
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada à integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que:
onde
é a divergência do campo
e
é o volume limitado pela superfície
. Então, para calcular o fluxo, primeiro precisamos encontrar a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
No nosso caso:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos calcular a integral de volume:
Ou seja, precisamos calcular o volume do cilindro
.
Passo 5
O volume de um cilindro é dado por:
onde
é o raio da base e
a altura. No nosso caso, a equação do cilindro é
, então o raio
. A altura
vai de
até
, portanto
.
Então,
Passo 6
Agora, substituindo o volume na integral de volume:
Resposta
O fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva no plano
definida pelas equações
, para
. Seja
a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva
em torno do eixo dos
.
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície
. Resposta:
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
Sabendo que
, determine:
h)
h)
(2,0) Determine a lei da função
, os conjuntos domínio e a imagem de
e representar graficamente o domínio de
, sabendo que
e
.
(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não.
.