(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não. lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite abaixo existe ou não:
lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2
Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, que é um tema de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de múltiplas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para aproximar o ponto (1,1).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para ver se conseguimos algo mais manejável. A função é:
x^2 - y xx^2 - y^2
Vamos fatorar o numerador e o denominador. No numerador, podemos fatorar um x:
x(x - y)
No denominador, reconhecemos uma diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, a função fica:
x(x - y)(x - y)(x + y)
Podemos simplificar o (x - y), desde que x neq y:
xx + y
Agora, a função simplificada é:
xx + y

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função simplificada quando (x, y) (1,1):
lim (x, y) (1,1) xx + y
Substituindo x e y por 1:
11 + 1 = 12

Resposta

O limite existe e é igual a dfrac12.

Exercícios relacionados

(2,0) Determine a lei da função z = f(x, y), os conjuntos domínio e a imagem de f e representar graficamente o domínio de f, sabendo que x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z <= 0.
Considere o cilindro S1 dado por x^2+y^2=4,0 <= z <= 1, tampado com discos S2 e S3. Obtemos assim uma superfície fechada S, que orientamos com o campo normal unitário n apontando para fora. Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z).
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo integral duplaS F cdot n d S. Resposta: 12 pi.
Calcule, caso exista.
b) lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=cx^2 se x <= 1 2 x-1 se x>1
(1, 0) Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).