(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não. lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite abaixo existe ou não:
lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2
Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, que é um tema de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de múltiplas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para aproximar o ponto (1,1).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para ver se conseguimos algo mais manejável. A função é:
x^2 - y xx^2 - y^2
Vamos fatorar o numerador e o denominador. No numerador, podemos fatorar um x:
x(x - y)
No denominador, reconhecemos uma diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, a função fica:
x(x - y)(x - y)(x + y)
Podemos simplificar o (x - y), desde que x neq y:
xx + y
Agora, a função simplificada é:
xx + y

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função simplificada quando (x, y) (1,1):
lim (x, y) (1,1) xx + y
Substituindo x e y por 1:
11 + 1 = 12

Resposta

O limite existe e é igual a dfrac12.

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