(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o limite abaixo existe ou não:
Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, que é um tema de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de múltiplas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para aproximar o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para ver se conseguimos algo mais manejável. A função é:
Vamos fatorar o numerador e o denominador. No numerador, podemos fatorar um
:
No denominador, reconhecemos uma diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Podemos simplificar o
, desde que
:
Agora, a função simplificada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função simplificada quando
:
Substituindo
e
por
:
Resposta
O limite existe e é igual a
.