Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
h) lim x 0 raiz[3 x]1+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de limite que envolve potências e radicais. O enunciado é:
lim x 0 raiz[3 x]1+x
Aqui, a matéria principal é Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e usar propriedades de logaritmos para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. O radical raiz[3x]1+x pode ser escrito como uma potência:
raiz[3x]1+x = (1 + x)^13x
Isso nos ajuda a trabalhar melhor com a expressão usando propriedades de potências.

Passo 3

Agora, para resolver o limite quando x se aproxima de 0, vamos usar uma técnica que envolve o logaritmo natural. Seja:
y = (1 + x)^13x
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para simplificar:
ln y = 13x cdot ln(1 + x)

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o limite de ln y quando x tende a 0 e depois exponentiar o resultado para achar y. Primeiro, observamos que:
limx to 0 ln(1 + x) = 0
Mas temos a forma indeterminada 00 na expressão ln(1+x)3x. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 0 ln(1 + x)3x = limx to 0 ddx ln(1 + x)ddx 3x = limx to 0 11 + x3
Simplificando:
limx to 0 13(1 + x) = 13

Passo 6

Então, temos que:
ln y = 13
Para encontrar y, basta elevar o número de Euler e a ambos os lados da equação:
y = e^13

Resposta

lim x 0 raiz[3 x]1+x = e^,13

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