Sabendo que
, determine:
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de limite que envolve potências e radicais. O enunciado é:
Aqui, a matéria principal é Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e usar propriedades de logaritmos para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. O radical
pode ser escrito como uma potência:
Isso nos ajuda a trabalhar melhor com a expressão usando propriedades de potências.
Passo 3
Agora, para resolver o limite quando
se aproxima de 0, vamos usar uma técnica que envolve o logaritmo natural. Seja:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para simplificar:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a 0 e depois exponentiar o resultado para achar
. Primeiro, observamos que:
Mas temos a forma indeterminada
na expressão
. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Simplificando:
Passo 6
Então, temos que:
Para encontrar
, basta elevar o número de Euler
a ambos os lados da equação: