(2,0) Determine a lei da função z = f(x, y), os conjuntos domínio e a imagem de f e representar graficamente o domínio de f, sabendo que x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é descobrir a função a partir da equação com a condição que . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da esfera e entender conceitos como domínio e imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação . Para isso, subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
No entanto, temos a condição , o que significa que só vamos considerar a parte negativa da raiz:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Observando a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso implica que:
Esse é o conjunto de pontos dentro ou na borda de um círculo de raio 1 no plano . Portanto, o domínio de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Observando a expressão de :
Como a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo e o sinal é negativo, varia de:
Portanto, a imagem de é:

Passo 6

Por fim, vamos representar graficamente o domínio de . Já que o domínio é , isso corresponde a um círculo de raio 1 no plano , incluindo a borda. Para desenhar:
  1. Desenhe um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1.
  2. Todo ponto dentro e sobre esse círculo faz parte do domínio de .

Resposta

A função é . O domínio de é o conjunto de todos os pares tais que , ou seja, um círculo de raio 1 no plano . A imagem de é o intervalo . Graficamente, o domínio de é representado por um círculo preenchido de raio 1 no plano .

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