(2,0) Determine a lei da função
, os conjuntos domínio e a imagem de
e representar graficamente o domínio de
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é descobrir a função
a partir da equação
com a condição que
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da esfera e entender conceitos como domínio e imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação
. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
No entanto, temos a condição
, o que significa que só vamos considerar a parte negativa da raiz:
Então, a função
fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Observando a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso implica que:
Esse é o conjunto de pontos dentro ou na borda de um círculo de raio 1 no plano
. Portanto, o domínio de
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Observando a expressão de
:
Como a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo e o sinal é negativo,
varia de:
Portanto, a imagem de
é:
Passo 6
Por fim, vamos representar graficamente o domínio de
. Já que o domínio é
, isso corresponde a um círculo de raio 1 no plano
, incluindo a borda. Para desenhar:
- Desenhe um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1.
- Todo ponto dentro e sobre esse círculo faz parte do domínio de
.
Resposta
A função é
. O domínio de
é o conjunto de todos os pares
tais que
, ou seja, um círculo de raio 1 no plano
. A imagem de
é o intervalo
. Graficamente, o domínio de
é representado por um círculo preenchido de raio 1 no plano
.
Exercícios relacionados
Considere o cilindro
dado por
, tampado com discos
e
. Obtemos assim uma superfície fechada
, que orientamos com o campo normal unitário
apontando para fora. Considere o campo vetorial
.
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo . Resposta:
.
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo
Seja
a curva no plano
definida pelas equações
, para
. Seja
a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva
em torno do eixo dos
.
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície
. Resposta:
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não.
.
Calcule, caso exista.
b) onde
b)