(2,0) Determine a lei da função z = f(x, y), os conjuntos domínio e a imagem de f e representar graficamente o domínio de f, sabendo que x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é descobrir a função a partir da equação com a condição que . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da esfera e entender conceitos como domínio e imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação . Para isso, subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
No entanto, temos a condição , o que significa que só vamos considerar a parte negativa da raiz:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Observando a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso implica que:
Esse é o conjunto de pontos dentro ou na borda de um círculo de raio 1 no plano . Portanto, o domínio de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Observando a expressão de :
Como a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo e o sinal é negativo, varia de:
Portanto, a imagem de é:

Passo 6

Por fim, vamos representar graficamente o domínio de . Já que o domínio é , isso corresponde a um círculo de raio 1 no plano , incluindo a borda. Para desenhar:
  1. Desenhe um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1.
  2. Todo ponto dentro e sobre esse círculo faz parte do domínio de .

Resposta

A função é . O domínio de é o conjunto de todos os pares tais que , ou seja, um círculo de raio 1 no plano . A imagem de é o intervalo . Graficamente, o domínio de é representado por um círculo preenchido de raio 1 no plano .

Exercícios relacionados

Considere o cilindro S1 dado por x^2+y^2=4,0 <= z <= 1, tampado com discos S2 e S3. Obtemos assim uma superfície fechada S, que orientamos com o campo normal unitário n apontando para fora. Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z).
Agora, faça o cálculo explícito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo integral duplaS F cdot n d S. Resposta: 12 pi.
Seja C a curva no plano x z definida pelas equações z = ln(x), y = 0, para 1 <= x <= e. Seja X a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva C em torno do eixo dos z.
Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = x i = (x, 0, 0) através da superfície X. Resposta: 1/2 * pi * (e^2 - 1).
(1,0) Determine se os limites abaixo existem ou não. lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2.
Calcule, caso exista.
b) lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=cx^2 se x <= 1 2 x-1 se x>1