Considere um cilindro longo condutor com raio interno
e raio externo
. A densidade de corrente na seção transversal do condutor é dada por
, com
e a distância radial
(a partir do eixo central do cilindro) dada em metros. Qual a intensidade do
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um cilindro condutor bem grandão, com um raio interno de
e um raio externo de
. A densidade de corrente, que mostra como a corrente está distribuída na seção transversal do cilindro, é dada por
, onde
e
é a distância radial a partir do centro do cilindro. A nossa missão aqui é descobrir qual é a intensidade total da corrente elétrica que passa por esse cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa densidade de corrente
. Ela nos dá a quantidade de corrente por unidade de área. No nosso caso,
indica que a densidade de corrente depende do quadrado da distância radial
.
Para encontrar a intensidade total da corrente
, precisamos integrar essa densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Pense nisso como somar todas as pequenas correntes que passam por cada pedaço da área.
Passo 3
Vamos configurar a integral para calcular a corrente total
. Em coordenadas polares, um pequeno elemento de área
em um cilindro é dado por
. Assim, a corrente total é a integral de
vezes
de
até
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, substituindo os limites de integração:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores dados na fórmula. Primeiro, convertemos os raios de centímetros para metros:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Vamos calcular os termos dentro dos parênteses:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A intensidade da corrente elétrica no cilindro é aproximadamente
.