Considere um cilindro longo condutor com raio interno a=2,0 cm e raio externo b=4,0 cm. A densidade de corrente na seção transversal do condutor é dada por J=c r^2, com c=3,0 times 10^6 A / m^4 e a distância radial r (a partir do eixo central do cilindro) dada em metros. Qual a intensidade do

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um cilindro condutor bem grandão, com um raio interno de e um raio externo de . A densidade de corrente, que mostra como a corrente está distribuída na seção transversal do cilindro, é dada por , onde e é a distância radial a partir do centro do cilindro. A nossa missão aqui é descobrir qual é a intensidade total da corrente elétrica que passa por esse cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa densidade de corrente . Ela nos dá a quantidade de corrente por unidade de área. No nosso caso, indica que a densidade de corrente depende do quadrado da distância radial .
Para encontrar a intensidade total da corrente , precisamos integrar essa densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Pense nisso como somar todas as pequenas correntes que passam por cada pedaço da área.

Passo 3

Vamos configurar a integral para calcular a corrente total I = integrala^b J cdot dA = integrala^b c r^2 cdot 2pi r , dr . Em coordenadas polares, um pequeno elemento de área em um cilindro é dado por . Assim, a corrente total é a integral de vezes de até :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da integral:
I = 2pi c integrala^b r^3 , dr
Agora, vamos integrar integral r^3 , dr = r^44 em relação a I = 2pi c [ b^44 - a^44 ] = pi c2 (b^4 - a^4) :
Então, substituindo os limites de integração:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados na fórmula. Primeiro, convertemos os raios de centímetros para metros:
a = 2,0 , cm = 0,02 , m b = 4,0 , cm = 0,04 , m
Substituindo na expressão de I = pi times 3,0 times 10^6 , A/m^42 ( (0,04)^4 - (0,02)^4 ) :

Passo 6

Vamos calcular os termos dentro dos parênteses:
(0,04)^4 = (4 times 10^-2)^4 = 2,56 times 10^-6 , m^4 (0,02)^4 = (2 times 10^-2)^4 = 1,6 times 10^-7 , m^4
Subtraindo:
2,56 times 10^-6 - 1,6 times 10^-7 = 2,4 times 10^-6 , m^4

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de I = pi times 3,0 times 10^62 times 2,4 times 10^-6 :
I = pi times 3,0 times 2,42 = pi times 3,6 approx 11,304 , A
Simplificando:

Resposta

A intensidade da corrente elétrica no cilindro é aproximadamente .

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