Considere a cinemática de uma partícula restrita a mover-se ao longo de uma linha. A função posição desta partícula, como função do tempo t, é dada pela seguinte equação
x(t)=A cdot exp (-t / tau) sin omega t+C
A posição é medida em cm. Calcule o valor de x(t) para t=0 e interprete o papel da constante C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula em função do tempo, dada por:
x(t)=A cdot exp (-t / tau) sin omega t + C
Aqui, a posição x(t) está em centímetros e o que a gente precisa fazer é calcular x(t) quando t = 0 e entender o que significa a constante C nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular x(t) para t = 0. Substituindo t por 0 na equação:
x(0) = A cdot exp (-0 / tau) sin (omega cdot 0) + C
Vamos simplificar isso passo a passo:
  • exp(0) é igual a 1, porque qualquer número elevado a 0 dá 1.
  • sin(0) também é igual a 0.
    Então, nossa equação fica:
x(0) = A cdot 1 cdot 0 + C = 0 + C = C

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o C na equação. Olhando para a expressão geral:
x(t)=A cdot exp (-t / tau) sin omega t + C
O termo A cdot exp (-t / tau) sin omega t descreve uma oscilação que diminui com o tempo devido ao fator exp (-t / tau). Já o C atua como uma constante de deslocamento, ou seja, é a posição inicial da partícula quando t = 0. Isso confirma o que vimos no passo anterior, onde x(0) = C. Então, C determina onde a partícula está parada no início.

Resposta

Para t = 0, x(0) = C. A constante C representa a posição inicial da partícula no momento em que o tempo começa, ou seja, quando t = 0.

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