A posição de uma partícula ao longo do eixo x é medida em metros e dada pela expressão
x(t)=t^2-t^3
Faça um esboço para x(t) ao longo do intervalo 0 <= t <= 2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ e a posição dela em função do tempo $ t $ é dada por $ x(t) = t^{2} - t^{3} $. O que precisamos fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função no intervalo de tempo de 0 a 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula $ x(t) = t^{2} - t^{3} $. Essa é uma função polinomial de terceiro grau, o que significa que seu gráfico pode ter curvas interessantes, como pontos de máximo e mínimo. Para desenhar o esboço, a gente vai calcular alguns valores de $ t $ dentro do intervalo dado e ver onde a partícula está em cada um desses tempos.

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula para alguns valores de $ t $ entre 0 e 2 segundos. Por exemplo, vamos calcular para $ t = 0, 0.5, 1, 1.5 $ e $ 2 $ segundos.
  • Para $ t = 0 $:
    t
  • Para $ t = 0.5 $:
    t = 0, 0.5, 1, 1.5
  • Para $ t = 1 $:
    2
  • Para $ t = 1.5 $:
    t = 0
  • Para $ t = 2 $:
    x(0) = 0^2 - 0^3 = 0

Passo 4

Com esses valores, podemos montar uma tabela para visualizar melhor:
$ t $ (s) $ x(t) $ (m)
0 0
0.5 0.125
1 0
1.5 -1.125
2 -4

Passo 5

Agora, vamos analisar esses pontos. Vemos que a posição começa em 0, aumenta até 0.125 metros em 0.5 segundos, volta para 0 em 1 segundo, e depois desce até -4 metros em 2 segundos. Isso indica que a partícula inicialmente se move para a direita, depois volta para a esquerda.

Passo 6

Com base nesses pontos, podemos desenhar um esboço do gráfico de $ x(t) $ no intervalo de 0 a 2 segundos. O gráfico vai subir até $ t = 0.5 , s $, descer até $ t = 1 , s $, e continuar descendo até $ t = 2 , s $, passando pelos pontos calculados.

Resposta

O esboço do gráfico de $ x(t) = t^{2} - t^{3} $ no intervalo de 0 a 2 segundos mostra que a partícula começa na posição 0, alcança uma posição máxima de 0.125 metros em 0.5 segundos, retorna à posição 0 em 1 segundo e continua se movendo para a esquerda, chegando a -4 metros em 2 segundos.

Exercícios relacionados