(10 pontos) Uma partícula está restrita a mover-se no plano, com uma aceleração a=4 i m / s^2. A partícula sai da origem em t=0, com a velocidade inicial v0=20 i-15 j m / s. Determine o vetor posição r(t) e a velocidade média da partícula entre os instantes t=0 s e t=5 s. Compare este resultado com os valores de v(t) para t=0 e t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com uma aceleração constante a = 4, i, m/s^2. Ela parte da origem ( r0 = 0) no instante t=0 com uma velocidade inicial de v0 = 20, i - 15, j, m/s. Nosso objetivo é:
  1. Determinar o vetor posição r(t) da partícula.
  2. Calcular a velocidade média da partícula entre t=0 e t=5, s.
  3. Comparar essa velocidade média com as velocidades nos instantes t=0 e t=5, s.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente variado, que envolve calcular integrais da aceleração para encontrar a velocidade e depois a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade v(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt
Para achar v(t), integramos a em relação ao tempo:
v(t) = v0 + a cdot t
Substituindo os valores dados:
v(t) = (20, i - 15, j) + (4, i) cdot t
Simplificando:
v(t) = (20 + 4t), i - 15, j, m/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor posição r(t). Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
r(t) = r0 + integral0^t v(t'), dt'
Como a partícula parte da origem, r0 = 0. Então:
r(t) = integral0^t [(20 + 4t'), i - 15, j] dt'
Integrando cada componente separadamente:
Para a componente i:
integral0^t (20 + 4t'), dt' = 20t + 2t^2
Para a componente j:
integral0^t (-15), dt' = -15t
Portanto:
r(t) = (20t + 2t^2), i - 15t, j, m

Passo 4

Vamos calcular a posição da partícula no instante t=5, s substituindo t=5 na expressão de r(t):
r(5) = (20 cdot 5 + 2 cdot 5^2), i - 15 cdot 5, j
Calculando cada termo:
20 cdot 5 = 100
2 cdot 5^2 = 2 cdot 25 = 50
15 cdot 5 = 75
Então:
r(5) = (100 + 50), i - 75, j = 150, i - 75, j, m

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade média vmédiaé entre t=0 e t=5, s. A velocidade média é dada por:
vmédia = Deé
Como a partícula parte da origem, r(0) = 0. Então:
vmédia = 150, i - 75, j5 = 30, i - 15, j, m/s é

Passo 6

Por fim, vamos comparar a velocidade média com as velocidades nos instantes t=0 e t=5, s.
  • No instante t=0:
v(0) = (20 + 4 cdot 0), i - 15, j = 20, i - 15, j, m/s
  • No instante t=5, s:
v(5) = (20 + 4 cdot 5), i - 15, j = 40, i - 15, j, m/s
Comparando com a velocidade média:
vmédia = 30, i - 15, j, m/s é
Vemos que a componente j da velocidade média é a mesma que nos instantes iniciais e finais, pois não há aceleração nessa direção. Já na componente i, a velocidade média ( 30, m/s) está entre os valores de 20, m/s em t=0 e 40, m/s em t=5, s, refletindo a aceleração constante nessa direção.

Resposta

O vetor posição da partícula é r(t) = (20t + 2t^2), i - 15t, j, m. A velocidade média entre t=0, s e t=5, s é vmédia = 30, i - 15, j, m/sé. Comparando, a velocidade no início ( 20, i - 15, j) e no final ( 40, i - 15, j) mostram que a velocidade média está entre esses valores, refletindo a aceleração constante na direção i.

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