(10 pontos) Uma partícula está restrita a mover-se no plano, com uma aceleração
. A partícula sai da origem em
, com a velocidade inicial
. Determine o vetor posição
e a velocidade média da partícula entre os instantes
e
. Compare este resultado com os valores de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com uma aceleração constante
. Ela parte da origem (
) no instante
com uma velocidade inicial de
. Nosso objetivo é:
- Determinar o vetor posição
da partícula. - Calcular a velocidade média da partícula entre
e . - Comparar essa velocidade média com as velocidades nos instantes
e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente variado, que envolve calcular integrais da aceleração para encontrar a velocidade e depois a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para achar
, integramos
em relação ao tempo:
Substituindo os valores dados:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor posição
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Como a partícula parte da origem,
. Então:
Integrando cada componente separadamente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular a posição da partícula no instante
substituindo
na expressão de
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Vamos agora calcular a velocidade média
entre
e
. A velocidade média é dada por:
Como a partícula parte da origem,
. Então:
Passo 6
Por fim, vamos comparar a velocidade média com as velocidades nos instantes
e
.
- No instante
:
- No instante
:
Comparando com a velocidade média:
Vemos que a componente
da velocidade média é a mesma que nos instantes iniciais e finais, pois não há aceleração nessa direção. Já na componente
, a velocidade média (
) está entre os valores de
em
e
em
, refletindo a aceleração constante nessa direção.
Resposta
O vetor posição da partícula é
. A velocidade média entre
e
é
. Comparando, a velocidade no início (
) e no final (
) mostram que a velocidade média está entre esses valores, refletindo a aceleração constante na direção
.