Considere um circuito LC oscilante ideal. A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por d^2 q / d t^2+omega^2 q=0. a) Mostre que uma combinação linear de funções seno e cosseno, com freqüência angular omega, é solução desta equação. b) Considere como solução desta equação a função q(t)=Q sen (omega t+varphi) com as condições iniciais q(0)=q0 e i(0)=i0. Mostre que as constantes Q e varphi são dadas por Q=[q0 ^2+(i0 / omega)^2]^1 / 2 e q0 e varphi=arctg(omega q0 / i0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Estamos lidando com um circuito oscilante LC ideal, que é um tipo de circuito que oscila energia entre um indutor (L) e um capacitor ©. A equação diferencial que descreve essas oscilações é . Nosso objetivo é:
a) Mostrar que uma combinação de seno e cosseno com frequência angular resolve essa equação.
b) Usar uma solução específica e condições iniciais para encontrar as constantes e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de segunda ordem e como aplicar condições iniciais para encontrar constantes específicas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Queremos mostrar que uma combinação linear de seno e cosseno é solução da equação .
Consideramos uma função , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de dqdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) :
d^2 qdt^2 = -A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)

Passo 4

Substituindo d^2 qdt^2 + omega^2 q = (-A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)) + omega^2 (A cos(omega t) + B sin(omega t)) = 0 e sua segunda derivada na equação diferencial:
Como os termos se cancelam, a igualdade é satisfeita, mostrando que é realmente uma solução da equação.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Consideramos a solução i(t) = dqdt = Q omega cos(omega t + varphi) e queremos determinar e usando as condições iniciais e , onde é a corrente.
Sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
Para q(0) = Q sin(varphi) = q0 :
i(0) = Q omega cos(varphi) = i0

Passo 7

Temos um sistema de duas equações:
  1. Q omega cos(varphi)Q sin(varphi) = i0q0 Rightarrow omega cot(varphi) = i0q0
  2. cot(varphi) = i0omega q0 Rightarrow varphi = arctan(omega q0i0)
Para encontrar e , podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Então,

Passo 8

Para encontrar (Q sin(varphi))^2 + (Q omega cos(varphi)omega)^2 = q0^2 + (i0omega)^2 , usamos as duas equações iniciais. Elevando ao quadrado e somando:
Q^2 (sin^2(varphi) + cos^2(varphi)) = q0^2 + (i0omega)^2
Q = raizq0^2 + (i0omega)^2
Como :

Resposta

As constantes são e .

Exercícios relacionados