Considere um circuito LC oscilante ideal. A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por . a) Mostre que uma combinação linear de funções seno e cosseno, com freqüência angular , é solução desta equação. b) Considere como solução desta equação a função sen com as condições iniciais e . Mostre que as constantes Q e são dadas por e e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Estamos lidando com um circuito oscilante LC ideal, que é um tipo de circuito que oscila energia entre um indutor (L) e um capacitor ©. A equação diferencial que descreve essas oscilações é . Nosso objetivo é:
a) Mostrar que uma combinação de seno e cosseno com frequência angular resolve essa equação.
b) Usar uma solução específica e condições iniciais para encontrar as constantes e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de segunda ordem e como aplicar condições iniciais para encontrar constantes específicas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Queremos mostrar que uma combinação linear de seno e cosseno é solução da equação .
Consideramos uma função , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 4

Substituindo e sua segunda derivada na equação diferencial:
Como os termos se cancelam, a igualdade é satisfeita, mostrando que é realmente uma solução da equação.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Consideramos a solução e queremos determinar e usando as condições iniciais e , onde é a corrente.
Sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
Para :

Passo 7

Temos um sistema de duas equações:
Para encontrar e , podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Então,

Passo 8

Para encontrar , usamos as duas equações iniciais. Elevando ao quadrado e somando:
Como :

Resposta

As constantes são e .

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