Considere um circuito LC oscilante ideal. A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por
. a) Mostre que uma combinação linear de funções seno e cosseno, com freqüência angular
, é solução desta equação. b) Considere como solução desta equação a função
sen
com as condições iniciais
e
. Mostre que as constantes Q e
são dadas por
e
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Estamos lidando com um circuito oscilante LC ideal, que é um tipo de circuito que oscila energia entre um indutor (L) e um capacitor ©. A equação diferencial que descreve essas oscilações é
. Nosso objetivo é:
a) Mostrar que uma combinação de seno e cosseno com frequência angular
resolve essa equação.
b) Usar uma solução específica e condições iniciais para encontrar as constantes e
.
b) Usar uma solução específica e condições iniciais para encontrar as constantes
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de segunda ordem e como aplicar condições iniciais para encontrar constantes específicas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Queremos mostrar que uma combinação linear de seno e cosseno é solução da equação
.
Consideramos uma função
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 4
Substituindo
e sua segunda derivada na equação diferencial:
Como os termos se cancelam, a igualdade é satisfeita, mostrando que
é realmente uma solução da equação.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Consideramos a solução
e queremos determinar
e
usando as condições iniciais
e
, onde
é a corrente.
Sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Passo 6
Aplicando as condições iniciais:
Para
:
Passo 7
Temos um sistema de duas equações:
Para encontrar
e
, podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Então,
Passo 8
Para encontrar
, usamos as duas equações iniciais. Elevando ao quadrado e somando:
Como
:
Resposta
As constantes são
e
.
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, e
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