Considere um circuito RC série (resistor-capacitor) alimentado por uma fonte de tensăo alternada. Sabe-se que a densidade de corrente de deslocamento no capacitor é
ax
e o circuito està em regime permanente senoidal. Considere que a área das placas paralelas do capacitor é S, a distância entre as placas é d e o dielétrico entre as placas tem permissividade
. Supondo que a àrea das placas do capacitor estảo orientadas na direçäo az, calcule a corrente 1 no resistor e a densidade de fluxo elétrico
entre as placas do capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um circuito RC série, ou seja, um resistor e um capacitor ligados em sequência, sendo alimentado por uma fonte de tensão alternada. Estamos em regime permanente senoidal, o que significa que tudo está se comportando de forma periódica e estável ao longo do tempo. A questão nos dá a densidade de corrente de deslocamento no capacitor e nos pede para calcular duas coisas: a corrente que passa pelo resistor e a densidade de fluxo elétrico entre as placas do capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de circuitos em corrente alternada (AC), corrente de deslocamento e densidade de fluxo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre corrente de deslocamento. Em circuitos com corrente alternada que incluem capacitores, além da corrente que realmente circula pelos fios (corrente de condução), existe uma corrente extra chamada de corrente de deslocamento. Essa corrente está relacionada à variação do campo elétrico dentro do capacitor. Basicamente, mesmo sem carga “real” fluindo através do dielétrico do capacitor, há uma equivalência com uma corrente devido à mudança do campo elétrico.
Passo 3
A corrente total que circula no circuito é a soma da corrente de condução no resistor e da corrente de deslocamento no capacitor. A densidade de corrente de deslocamento ($ \mathbf{J}_a $) é dada pela expressão:
Aqui, $ A $ é a amplitude da corrente de deslocamento, $ \omega $ é a frequência angular da fonte de tensão, e $ t $ é o tempo. A direção está na direção $ \hat{a}_x $, mas como as placas do capacitor estão orientadas na direção $ \hat{a}_z $, vamos focar na componente relevante para o fluxo entre as placas.
Passo 4
Para encontrar a corrente $ I $ no resistor, vamos relacionar a densidade de corrente de deslocamento com a área $ S $ das placas do capacitor. A corrente total associada à densidade de corrente $ \mathbf{J}_a $ é:
Isso nos dá a expressão para a corrente que passa pelo resistor, já que no regime permanente, a corrente que passa pelo resistor é igual à corrente total no circuito.
Passo 5
Agora, vamos determinar a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ entre as placas do capacitor. Sabemos que a corrente de deslocamento está relacionada à variação temporal da densidade de fluxo elétrico:
Para encontrar $ \mathbf{D} $, integramos essa expressão em relação ao tempo:
Como no regime permanente a constante de integração $ C $ pode ser considerada zero, temos:
Resposta
A corrente no resistor é $ I = A \cdot S \cdot \cos(\omega t) $ e a densidade de fluxo elétrico entre as placas do capacitor é $ \mathbf{D} = \frac{A}{\omega} \cdot \sin(\omega t) , \hat{a}_x $.