Considere um circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão alternada. Sabe-se que a densidade de corrente de deslocamento no capacitor é e o circuito está em regime permanente senoidal. Considere que a área das placas paralelas do capacitor é S^prime, a distância entre elas é d , o dielétrico entre as placas tem permissividade varepsilon, e as placas estão orientadas com ax, calcule I no resistor e a densidade de fluxo elétrico D entre as placas do capacitor.
Pela equação de Maxuell nabla D=rhov s. Para capacitores ideais, nabla D=0, ou seja, não há densidade de cargas livres
ll I=integralS J0 cdot d A I=A cos (omega t) cdot S1, phi J d cdot d S=oint partial Dpartial t cdot d S Jd=partial Dpartial t D=integral J0 d t & D=integral A cos (omega t) d t D=Aomega sen(omega t) ax
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão alternada. No capacitor desse circuito, a densidade de corrente de deslocamento é dada por J0 = A cos(omega t) ax A/m². Queremos calcular a corrente I que passa pelo resistor e a densidade de fluxo elétrico D entre as placas do capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
Corrente de deslocamento: relacionada à variação do campo elétrico no capacitor.
Densidade de fluxo elétrico (D): representa o fluxo de campo elétrico através de uma área.
Circuito RC em regime permanente senoidal: significa que as quantidades variam senoidalmente no tempo após um tempo suficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC em regime permanente senoidal, a corrente que passa pelo resistor é a mesma que passa pelo capacitor. A corrente total do circuito é a soma da corrente no resistor e na corrente de deslocamento no capacitor. No caso de regime permanente, essas correntes são sincronizadas e podemos relacioná-las diretamente.
Passo 3
A corrente no resistor (I) pode ser relacionada à densidade de corrente de deslocamento (J0) pela área das placas do capacitor. A corrente é dada por:
I = integralS J0 cdot dA
Como a densidade de corrente é uniforme e orientada na direção ax, a integral simplifica para:
I = J0 cdot S'
Onde S' é a área das placas do capacitor.
Passo 4
Substituindo a expressão de J0:
I = A cos(omega t) cdot S'
Então, a corrente no resistor é:
I = A S' cos(omega t)
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de fluxo elétrico D entre as placas do capacitor. Sabemos que:
D = varepsilon E
Onde varepsilon é a permissividade do dielétrico e E é o campo elétrico. Além disso, a corrente de deslocamento está relacionada à variação do campo elétrico no tempo:
Jd = partial Dpartial t
Dado que J0 = Jd, podemos escrever:
partial Dpartial t = A cos(omega t) ax
Passo 6
Para encontrar D, vamos integrar a equação diferencial em relação ao tempo:
D = integral A cos(omega t) dt cdot ax = Aomega sin(omega t) ax + D0
Como estamos considerando a variação no campo elétrico devido à corrente alternada e em regime permanente, a constante de integração D0 pode ser considerada zero. Portanto:
D = Aomega sin(omega t) ax
Resposta
A corrente no resistor é $ I = A S’ \cos(\omega t) $ e a densidade de fluxo elétrico entre as placas do capacitor é $ \vec{D} = \frac{A}{\omega} \sin(\omega t) \overrightarrow{a_{x}} $.