Qual o valor da corrente média (constante) que poderia transportar a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo? (10.8 pontos)
A corrente elétrica que passa através de um fio é dada por i(t)=12-4t+6t^2 (i em mA e t em s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor da corrente média constante que transportaria a mesma quantidade de carga em um determinado intervalo de tempo. Estamos lidando com corrente elétrica e cálculo, especialmente com integrais para determinar a carga total. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a corrente média a partir da corrente que varia no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de carga elétrica $ Q $ transportada por uma corrente ao longo do tempo é dada pela integral da corrente em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Q
Aqui, $ i(t) = 12 - 4t + 6t^{2} $ mA é a corrente que varia com o tempo $ t $, e $ T $ é o intervalo de tempo considerado.

Passo 3

Para calcular a carga total $ Q $, precisamos integrar a função $ i(t) $ de $ t = 0 $ até $ t = T $:
Q
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Integrando cada termo separadamente:
  1. $ \int 12 , dt = 12t $
  2. $ \int -4t , dt = -2t^{2} $
  3. $ \int 6t^{2} , dt = 2t^{3} $
Então, a integral completa fica:
integral 12 , dt = 12t

Passo 5

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Q = (12T - 2T^2 + 2T^3) - (12 cdot 0 - 2 cdot 0^2 + 2 cdot 0^3) = 12T - 2T^2 + 2T^3
Então, a carga total transportada é:
Q = 12T - 2T^2 + 2T^3 , mA·s

Passo 6

Agora, para encontrar a corrente média $ I_{média} $ que é constante e que transporta a mesma carga $ Q $ no mesmo intervalo de tempo $ T $, usamos a fórmula:
Imédia é
Substituindo $ Q $ pela expressão que encontramos:
Q é

Passo 7

Simplificando a expressão:
Imédia = 12TT - 2T^2T + 2T^3T = 12 - 2T + 2T^2 , mA é

Resposta

A corrente média constante que transporta a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo é:
Imédia = 12 - 2T + 2T^2 , mA é

Exercícios relacionados