Qual o valor da corrente média (constante) que poderia transportar a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo? (10.8 pontos)
A corrente elétrica que passa através de um fio é dada por
(i em mA e t em s)
A corrente elétrica que passa através de um fio é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor da corrente média constante que transportaria a mesma quantidade de carga em um determinado intervalo de tempo. Estamos lidando com corrente elétrica e cálculo, especialmente com integrais para determinar a carga total. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a corrente média a partir da corrente que varia no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de carga elétrica $ Q $ transportada por uma corrente ao longo do tempo é dada pela integral da corrente em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui, $ i(t) = 12 - 4t + 6t^{2} $ mA é a corrente que varia com o tempo $ t $, e $ T $ é o intervalo de tempo considerado.
Passo 3
Para calcular a carga total $ Q $, precisamos integrar a função $ i(t) $ de $ t = 0 $ até $ t = T $:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Integrando cada termo separadamente:
- $ \int 12 , dt = 12t $
- $ \int -4t , dt = -2t^{2} $
- $ \int 6t^{2} , dt = 2t^{3} $
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Então, a carga total transportada é:
Passo 6
Agora, para encontrar a corrente média $ I_{média} $ que é constante e que transporta a mesma carga $ Q $ no mesmo intervalo de tempo $ T $, usamos a fórmula:
Substituindo $ Q $ pela expressão que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A corrente média constante que transporta a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo é: