No espaço livre um sistema é formado por duas cascas cilindricas concentricas, condutoras e infinitas de raio
e
centradas no eixo
, tal que
. Sobre a casca cillindrica de raio p1 tem-se uma densidade superficial de corrente
az
e sobre a casca cilindrica de raio
tem-se uma densidade superficial de corrente
az
. Considere Kb constante maior que zero. Dada as condiçoses do problema,
b) (1.5) calcule em coordenadas cilindricas a densidade de fluxo magnético
em cada uma das três regioles delimitadas por.
e
;
b) (1.5) calcule em coordenadas cilindricas a densidade de fluxo magnético
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas cilíndricas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios $ p_{1} $ e $ p_{2} $ onde $ p_{1} < p_{2} $. Essas cascas são infinitas e condutoras, e cada uma tem uma densidade superficial de corrente $ \mathbf{K} $ na direção azimutal ($ \phi $). Queremos calcular a densidade de fluxo magnético $ \mathbf{B} $ em três regiões diferentes: dentro de $ p_{1} $ ($ \rho < p_{1} $), entre $ p_{1} $ e $ p_{2} $ ($ p_{1} < \rho < p_{2} $) e fora de $ p_{2} $ ($ \rho > p_{2} $). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma curva fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère em coordenadas cilíndricas. Ela diz que a integral de $ \mathbf{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I_{enc} $ que passa através desse caminho:
Aqui, $ d\mathbf{l} $ é um elemento de comprimento ao longo do caminho.
Passo 3
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos um caminho de integração que também é um círculo de raio $ \rho $. Nesse caso, $ \mathbf{B} $ tem apenas a componente $ \phi $, e é constante em magnitude ao longo do caminho. Então, a integral se simplifica para:
Então, a densidade de fluxo magnético $ B $ será:
Passo 4
Agora, vamos determinar $ I_{enc} $ em cada uma das três regiões.
-
Para $ \rho < p_{1} $: Neste caso, nenhuma corrente está dentro do caminho de integração, porque a corrente está na casca de raio $ p_{1} $ e fora. Então, $ I_{enc} = 0 $.
-
Para $ p_{1} < \rho < p_{2} $: Aqui, a corrente na casca de raio $ p_{1} $ está dentro do caminho de integração, mas a de $ p_{2} $ está fora. A corrente superficial $ K_{b} $ na casca de $ p_{1} $ é distribuída ao longo do comprimento, então a corrente total por unidade de comprimento é $ K_{b} \cdot 2\pi p_{1} $.
-
Para $ \rho > p_{2} $: Agora, ambas as correntes das cascas de $ p_{1} $ e $ p_{2} $ estão dentro do caminho. Cada uma contribui com $ K_{b} \cdot 2\pi p_{1} $ e $ K_{b} \cdot 2\pi p_{2} $, respectivamente.
Passo 5
Vamos calcular $ B $ para cada região usando a expressão que encontramos:
- Para $ \rho < p_{1} $:
Então, não há campo magnético dentro de $ p_{1} $.
- Para $ p_{1} < \rho < p_{2} $:
- Para $ \rho > p_{2} $:
Resposta
A densidade de fluxo magnético $ \mathbf{B} $ em cada região é: