Considere um circuito RLC oscilante formado por um indutor L=3,0 mH in C=2,10 mu F, resistor R desconhecido. A carga inicial armazenada ê 100 mC .
Com base no gráfico a seguir:
(a) Estime a resistencia R do circuito.
(b) Estime a frequência linear f de oscilaçäo do circuito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC oscilante, que é basicamente um circuito com resistor ®, indutor (L) e capacitor © ligados juntos. A gente tem os valores de L = 3,0 mH, C = 2,10 μF e uma carga inicial de 100 mC. O resistor R está desconhecido. Vamos precisar usar conceitos de circuitos oscilantes e fórmulas que relacionam resistência, indutância, capacitância e frequência para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede para estimar a resistência R do circuito. Em um circuito RLC oscilante, a resistência está relacionada com o amortecimento das oscilações. Quanto maior a resistência, mais rápido as oscilações diminuem.
A fórmula que liga a resistência R com o indutor L e a capacitância C em um circuito RLC é:
R = 2 cdot raizLC cdot gamma
Onde omega = raiz1LC - (R2L)^2 é a taxa de amortecimento. Mas como não temos omega0 = 1raizLC diretamente, vamos usar outra abordagem. Sabemos que a frequência de oscilação amortecida é:
R = 2L cdot gamma
No entanto, sem o gráfico, vamos assumir que o circuito está em regime subamortecido, e a frequência sem amortecimento é aproximadamente:
R = 2 cdot 3,0 times 10^-3 , H cdot gamma
Mas para encontrar R, precisamos de mais informações do gráfico, como a taxa de decaimento das oscilações. Como não temos o gráfico, vamos assumir que o índice de decaimento é conhecido ou que podemos relacionar a resistência diretamente.
Para simplificar, usaremos a relação que conecta a resistência R com o tempo de decaimento:
Onde pode ser estimado a partir da taxa de decaimento do gráfico. Supondo que seja dado, substituímos os valores:
Sem o valor exato de , não podemos calcular R numericamente, então vamos seguir para a parte (b).

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b) que pede para estimar a frequência linear f = omega2pi de oscilação do circuito. A frequência de oscilação em um circuito RLC é dada por:
omega = raiz1LC - (R2L)^2
Onde omega0 = 1raizLC é a frequência angular:
omega0 = 1raiz3,0 times 10^-3 , H cdot 2,10 times 10^-6 , F
Primeiro, calculamos omega0 = 1raiz6,3 times 10^-9 approx 17,94 times 10^-5 approx 1,26 times 10^4 , rad/s , que é a frequência angular sem considerar o amortecimento:
f = 1,26 times 10^42pi approx 2003 , Hz
Substituindo os valores:
Calculando:
Então, a frequência sem amortecimento é:
Se considerarmos o amortecimento devido à resistência R, a frequência real será um pouco menor. Mas sem o valor exato de R ou , essa é a melhor estimativa que podemos fazer.

Resposta

(a) Não foi possível estimar a resistência sem informações adicionais do gráfico.
(b) A frequência linear de oscilação do circuito é aproximadamente .

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