Considere um circuito RLC em série, sem fonte externa, com o capacitor inicialmente carregado. Usando a lei das malhas, obtenha a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no circuito. Mostre que para que a função
seja a solução do circuito, a constante B deve ser dada por
onde
R
L e
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série sem fonte externa, onde o capacitor já está carregado inicialmente. Nosso objetivo é usar a lei das malhas para encontrar a equação diferencial que descreve como a carga no capacitor muda com o tempo. Depois, vamos mostrar que uma função do tipo
resolve essa equação, determinando o valor de B. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RLC, a lei das malhas e como resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que tem num circuito RLC em série: um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor ©, todos conectados em sequência. Como não tem fonte externa, a energia está armazenada apenas no capacitor inicialmente.
Passo 3
A lei das malhas de Kirchhoff nos diz que a soma das quedas de tensão ao redor de qualquer malha fechada é igual a zero. No nosso caso, a malha tem três componentes: resistor, indutor e capacitor.
Passo 4
Vamos expressar as quedas de tensão:
- Tensão no resistor:
, onde é a corrente. - Tensão no indutor:
. - Tensão no capacitor:
, onde é a carga no capacitor.
Como a corrente
é a taxa de variação da carga, temos
.
Passo 5
Aplicando a lei das malhas:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Rearranjando a equação:
Dividindo toda a equação por L para simplificar:
Passo 7
Agora, identificamos os parâmetros:
Então, a equação fica:
Passo 8
Queremos mostrar que uma solução da forma
satisfaz a equação. Vamos substituir essa solução na equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 9
Substituindo na equação diferencial:
Factorando
:
Passo 10
Para que essa equação seja válida para todo t, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Passo 11
Essa é uma equação quadrática em B. Vamos resolver para B usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 12
Podemos expressar essa solução de forma mais elegante:
Resposta
A constante
deve ser dada por:
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