Considere um circuito RLC em série, sem fonte externa, com o capacitor inicialmente carregado. Usando a lei das malhas, obtenha a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no circuito. Mostre que para que a função seja a solução do circuito, a constante B deve ser dada por onde R L e .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série sem fonte externa, onde o capacitor já está carregado inicialmente. Nosso objetivo é usar a lei das malhas para encontrar a equação diferencial que descreve como a carga no capacitor muda com o tempo. Depois, vamos mostrar que uma função do tipo resolve essa equação, determinando o valor de B. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RLC, a lei das malhas e como resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que tem num circuito RLC em série: um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor ©, todos conectados em sequência. Como não tem fonte externa, a energia está armazenada apenas no capacitor inicialmente.

Passo 3

A lei das malhas de Kirchhoff nos diz que a soma das quedas de tensão ao redor de qualquer malha fechada é igual a zero. No nosso caso, a malha tem três componentes: resistor, indutor e capacitor.

Passo 4

Vamos expressar as quedas de tensão:
  • Tensão no resistor: , onde é a corrente.
  • Tensão no indutor: .
  • Tensão no capacitor: , onde é a carga no capacitor.
Como a corrente é a taxa de variação da carga, temos .

Passo 5

Aplicando a lei das malhas:
Substituindo as expressões:

Passo 6

Rearranjando a equação:
Dividindo toda a equação por L para simplificar:

Passo 7

Agora, identificamos os parâmetros:
Então, a equação fica:

Passo 8

Queremos mostrar que uma solução da forma satisfaz a equação. Vamos substituir essa solução na equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 9

Substituindo na equação diferencial:
Factorando :

Passo 10

Para que essa equação seja válida para todo t, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:

Passo 11

Essa é uma equação quadrática em B. Vamos resolver para B usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 12

Podemos expressar essa solução de forma mais elegante:

Resposta

A constante deve ser dada por:

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