Considere um circuito RLC em série, sem fonte externa, com o capacitor inicialmente carregado. Usando a lei das malhas, obtenha a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no circuito. Mostre que para que a função Ae^Bt seja a solução do circuito, a constante B deve ser dada por B=-gamma / 2 pm[(gamma / 2)^2-omega0^2]^1 / 2 onde gamma= R / L e omega0^2=1 / L C.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série sem fonte externa, onde o capacitor já está carregado inicialmente. Nosso objetivo é usar a lei das malhas para encontrar a equação diferencial que descreve como a carga no capacitor muda com o tempo. Depois, vamos mostrar que uma função do tipo Ae^Bt resolve essa equação, determinando o valor de B. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RLC, a lei das malhas e como resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que tem num circuito RLC em série: um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor ©, todos conectados em sequência. Como não tem fonte externa, a energia está armazenada apenas no capacitor inicialmente.

Passo 3

A lei das malhas de Kirchhoff nos diz que a soma das quedas de tensão ao redor de qualquer malha fechada é igual a zero. No nosso caso, a malha tem três componentes: resistor, indutor e capacitor.

Passo 4

Vamos expressar as quedas de tensão:
  • Tensão no resistor: VR = R cdot I, onde I é a corrente.
  • Tensão no indutor: VL = L cdot dIdt.
  • Tensão no capacitor: VC = QC, onde Q é a carga no capacitor.
Como a corrente I é a taxa de variação da carga, temos I = dQdt.

Passo 5

Aplicando a lei das malhas:
VR + VL + VC = 0
Substituindo as expressões:
R cdot dQdt + L cdot d^2Qdt^2 + QC = 0

Passo 6

Rearranjando a equação:
L cdot d^2Qdt^2 + R cdot dQdt + QC = 0
Dividindo toda a equação por L para simplificar:
d^2Qdt^2 + RL cdot dQdt + 1LC cdot Q = 0

Passo 7

Agora, identificamos os parâmetros:
gamma = RL
omega0^2 = 1LC
Então, a equação fica:
d^2Qdt^2 + gamma cdot dQdt + omega0^2 cdot Q = 0

Passo 8

Queremos mostrar que uma solução da forma Q(t) = Ae^Bt satisfaz a equação. Vamos substituir essa solução na equação diferencial.
Primeiro, calculamos as derivadas:
dQdt = A cdot B cdot e^Bt
d^2Qdt^2 = A cdot B^2 cdot e^Bt

Passo 9

Substituindo na equação diferencial:
A cdot B^2 cdot e^Bt + gamma cdot A cdot B cdot e^Bt + omega0^2 cdot A cdot e^Bt = 0
Factorando A cdot e^Bt:
A cdot e^Bt cdot (B^2 + gamma cdot B + omega0^2) = 0

Passo 10

Para que essa equação seja válida para todo t, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
B^2 + gamma cdot B + omega0^2 = 0

Passo 11

Essa é uma equação quadrática em B. Vamos resolver para B usando a fórmula de Bhaskara:
B = -gamma pm raizgamma^2 - 4 cdot 1 cdot omega0^22
Simplificando:
B = -gamma pm raizgamma^2 - 4omega0^22

Passo 12

Podemos expressar essa solução de forma mais elegante:
B = -gamma2 pm raiz(gamma2)^2 - omega0^2

Resposta

A constante B deve ser dada por:
B = -gamma2 pm raiz(gamma2)^2 - omega0^2

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