Duas cargas puntiformes livres +q e +4 q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio do sistema é instável.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas cargas puntiformes, uma de módulo e outra de , separadas por uma distância . Precisamos adicionar uma terceira carga de modo que todo o sistema fique em equilíbrio. Isso envolve conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre forças elétricas entre cargas e condições de equilíbrio. Para resolver, vamos precisar da Lei de Coulomb e das condições de equilíbrio de forças.

Passo 2

Vamos começar determinando a posição da terceira carga, que chamaremos de . Suponha que esteja a uma distância da carga . Assim, a distância entre e será .

Passo 3

Para que o sistema esteja em equilíbrio, a força que F1 = ke q cdot Qx^2 exerce sobre F2 = ke 4q cdot Q(L - x)^2 deve ser igual em módulo e oposta em direção à força que exerce sobre . Usaremos a Lei de Coulomb para expressar essas forças:
Onde é a constante eletrostática.

Passo 4

Para equilíbrio, ke q cdot Qx^2 = ke 4q cdot Q(L - x)^2 , então:
1x^2 = 4(L - x)^2
Podemos simplificar , e de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver para (L - x)^2 = 4x^2 :
L^2 - 2Lx + x^2 = 4x^2
L^2 - 2Lx - 3x^2 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática para 3x^2 + 2Lx - L^2 = 0 :
x = -2L pm raiz(2L)^2 - 4 cdot 3 cdot (-L^2)2 cdot 3
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -2L pm raiz4L^2 + 12L^26
x = -2L pm raiz16L^26
x = -2L pm 4L6
As soluções são e . Como distância não pode ser negativa, descartamos .

Passo 7

Então, a terceira carga deve estar a da carga e a da carga .

Passo 8

Agora, vamos determinar o módulo e o sinal de . Sabemos que deve exercer forças opostas nas duas cargas para que haja equilíbrio. Como ambas as cargas iniciais são positivas, deve ser negativa para atrair ambas.

Passo 9

Portanto, o módulo de F = ke q cdot |Q|(L3)^2 = ke 4q cdot |Q|(2L3)^2 pode ser determinado usando uma das forças:
|Q| = 4q1 cdot 14 = q
Resolvendo, verificamos que:
Então, .

Resposta

(a) A terceira carga está localizada a da carga , com módulo e sinal negativo.
(b) O equilíbrio é instável porque qualquer pequeno deslocamento da terceira carga fará com que as forças desequilibrem, afastando-a ainda mais da posição de equilíbrio.

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