Duas cargas puntiformes livres
e
estão a uma distância
uma da outra. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio do sistema é instável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas cargas puntiformes, uma de módulo
e outra de
, separadas por uma distância
. Precisamos adicionar uma terceira carga de modo que todo o sistema fique em equilíbrio. Isso envolve conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre forças elétricas entre cargas e condições de equilíbrio. Para resolver, vamos precisar da Lei de Coulomb e das condições de equilíbrio de forças.
Passo 2
Vamos começar determinando a posição da terceira carga, que chamaremos de
. Suponha que
esteja a uma distância
da carga
. Assim, a distância entre
e
será
.
Passo 3
Para que o sistema esteja em equilíbrio, a força que
exerce sobre
deve ser igual em módulo e oposta em direção à força que
exerce sobre
. Usaremos a Lei de Coulomb para expressar essas forças:
Onde
é a constante eletrostática.
Passo 4
Para equilíbrio,
, então:
Podemos simplificar
,
e
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são
e
. Como distância não pode ser negativa, descartamos
.
Passo 7
Então, a terceira carga
deve estar a
da carga
e a
da carga
.
Passo 8
Agora, vamos determinar o módulo e o sinal de
. Sabemos que
deve exercer forças opostas nas duas cargas para que haja equilíbrio. Como ambas as cargas iniciais são positivas,
deve ser negativa para atrair ambas.
Passo 9
Portanto, o módulo de
pode ser determinado usando uma das forças:
Resolvendo, verificamos que:
Então,
.
Resposta
(a) A terceira carga está localizada a
da carga
, com módulo
e sinal negativo.
(b) O equilíbrio é instável porque qualquer pequeno deslocamento da terceira carga fará com que as forças desequilibrem, afastando-a ainda mais da posição de equilíbrio.
(b) O equilíbrio é instável porque qualquer pequeno deslocamento da terceira carga fará com que as forças desequilibrem, afastando-a ainda mais da posição de equilíbrio.
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) a
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onde
R
L e
.
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Substituindo 2 em 1, vem:
Como
, então:
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.
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