Considere o circuito R C série, sendo: R=10 m Omega, C=20 mu F e varepsilon=100 volts.
1,5
b) Em que instante o potencial V0 sobre o capacitor é a metade do potencial VR no resistor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RC série, onde temos um resistor de 10 mΩ, um capacitor de 20 μF e uma fonte de tensão de 100 volts. A pergunta quer saber em que instante o potencial no capacitor, , é metade do potencial no resistor, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente a carga e descarga de capacitores em circuitos RC.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a tensão se distribui em um circuito RC série quando ligamos a fonte de tensão. Nesse tipo de circuito, a tensão total da fonte, VR(t) = varepsilon cdot e^-t/RC , se divide entre o resistor e o capacitor. A tensão no resistor, V0(t) = varepsilon cdot (1 - e^-t/RC) , e no capacitor, , mudam com o tempo conforme o capacitor carrega.
A fórmula para a tensão no resistor é:
E a tensão no capacitor é:
Aqui, é a resistência e é a capacitância do capacitor.

Passo 3

A gente precisa encontrar o tempo V0 = 12 VR em que varepsilon cdot (1 - e^-t/RC) = 12 cdot varepsilon cdot e^-t/RC é metade de 1 - e^-t/RC = 12 e^-t/RC . Então, vamos montar a equação:
Substituindo as fórmulas que temos:
A gente pode simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 1 = 32 e^-t/RC . Primeiro, vamos somar e^-t/RC = 23 nos dois lados:
-t/RC = ln(23)
Em seguida, isolamos o termo exponencial:
t = RC cdot ln(32)
Para tirar o , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por para resolver para :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados no exercício. Sabemos que:
R = 10, mOmega = 10 times 10^-3, Omega
C = 20, muF = 20 times 10^-6, F
E t = (10 times 10^-3) times (20 times 10^-6) times 0,4055 é aproximadamente 0,4055.
Então:
t = 200 times 10^-9 times 0,4055
t approx 81,1 times 10^-9, segundos
t approx 81,1, nanosegundos

Resposta

O potencial sobre o capacitor é metade do potencial no resistor no instante de aproximadamente 81,1 nanosegundos.

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