Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo e fora da cardioide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma cardioide com a equação e um círculo centrado no ponto com raio . Nosso objetivo é encontrar a área da região que está dentro do círculo e fora da cardioide, usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas entre curvas em coordenadas polares e encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para definir os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas figuras. A cardioide é uma curva que tem uma forma semelhante a um coração, enquanto o círculo está deslocado para cima no plano polar, já que seu centro está em . Para calcular a área da região , precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os valores de para os quais .

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos de interseção:
Sabemos que ocorre em e . Então, os ângulos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual curva está por dentro da outra na região de interesse. Para valores de entre e , o raio do círculo é maior que o da cardioide, ou seja, está por fora da cardioide. Fora desse intervalo, a cardioide fica por fora do círculo .

Passo 5

Sabendo disso, a área da região será a diferença entre a área do círculo e a área da cardioide na faixa de onde está por dentro da cardioide. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Á
Aqui, é o raio da curva que está fora (o círculo ) e é o raio da curva que está dentro (a cardioide).

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula. Nosso intervalo de vai de a . O raio do círculo é e o da cardioide é . Então, a área será:

Passo 7

Vamos calcular os quadrados:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, simplificamos a integral:
Calculando cada parte:

Passo 9

Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Então:

Passo 10

Vamos combinar os termos:
Portanto:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
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Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do do primeiro quadrante em que encontra a cardioide.