Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região
situada dentro do círculo
e fora da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma cardioide com a equação
e um círculo
centrado no ponto
com raio
. Nosso objetivo é encontrar a área da região
que está dentro do círculo
e fora da cardioide, usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas entre curvas em coordenadas polares e encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para definir os limites da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas figuras. A cardioide
é uma curva que tem uma forma semelhante a um coração, enquanto o círculo
está deslocado para cima no plano polar, já que seu centro está em
. Para calcular a área da região
, precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os valores de
para os quais
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos de interseção:
Sabemos que
ocorre em
e
. Então, os ângulos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual curva está por dentro da outra na região de interesse. Para valores de
entre
e
, o raio do círculo
é maior que o da cardioide, ou seja,
está por fora da cardioide. Fora desse intervalo, a cardioide fica por fora do círculo
.
Passo 5
Sabendo disso, a área da região
será a diferença entre a área do círculo
e a área da cardioide na faixa de
onde
está por dentro da cardioide. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui,
é o raio da curva que está fora (o círculo
) e
é o raio da curva que está dentro (a cardioide).
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula. Nosso intervalo de
vai de
a
. O raio do círculo
é
e o da cardioide é
. Então, a área
será:
Passo 7
Vamos calcular os quadrados:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, simplificamos a integral:
Calculando cada parte:
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Vamos combinar os termos:
Portanto:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto
tangente ao eixo
, esboçados abaixo, bem como a região
indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla
usando coordenadas polares.
Considere o sólido
delimitado inferiormente pelo plano
, superiormente pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Escreva o volume do sólido
Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do
do primeiro quadrante em que
encontra a cardioide.
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta