Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine:
c) O volume da esfera gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um círculo de raio e queremos descobrir o volume da esfera que forma quando a gente gira um semicírculo em torno do seu diâmetro. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo, mais especificamente técnicas de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar um semicírculo em torno do seu diâmetro. Imagine que você tem metade de um círculo (um semicírculo) e gira ele completamente ao redor da linha que é o diâmetro desse semicírculo. O resultado desse giro vai formar uma esfera perfeita.

Passo 3

Para encontrar o volume dessa esfera usando cálculo, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias fininhas (discos) e somar os volumes dessas fatias para obter o volume total.

Passo 4

Vamos considerar o semicírculo no plano - , onde o diâmetro está no eixo . A equação de um círculo com raio centrado na origem é:
Como estamos lidando com um semicírculo, podemos resolver para :

Passo 5

Quando giramos o semicírculo em torno do eixo , cada pequeno segmento vertical do semicírculo forma um disco com raio e espessura . O volume de cada disco é:
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar o volume total da esfera, integramos de a :

Passo 7

Vamos calcular essa integral:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Calculando a diferença:

Resposta

O volume da esfera gerada é .

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