Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine:
c) O volume da esfera gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro
c) O volume da esfera gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um círculo de raio
e queremos descobrir o volume da esfera que forma quando a gente gira um semicírculo em torno do seu diâmetro. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo, mais especificamente técnicas de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar um semicírculo em torno do seu diâmetro. Imagine que você tem metade de um círculo (um semicírculo) e gira ele completamente ao redor da linha que é o diâmetro desse semicírculo. O resultado desse giro vai formar uma esfera perfeita.
Passo 3
Para encontrar o volume dessa esfera usando cálculo, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias fininhas (discos) e somar os volumes dessas fatias para obter o volume total.
Passo 4
Vamos considerar o semicírculo no plano
-
, onde o diâmetro está no eixo
. A equação de um círculo com raio
centrado na origem é:
Como estamos lidando com um semicírculo, podemos resolver para
:
Passo 5
Quando giramos o semicírculo em torno do eixo
, cada pequeno segmento vertical do semicírculo forma um disco com raio
e espessura
. O volume de cada disco é:
Substituindo
:
Passo 6
Para encontrar o volume total da esfera, integramos
de
a
:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Resposta
O volume da esfera gerada é
.
Exercícios relacionados
Determine
b) A área delimitada entre as curvas de e
b) A área delimitada entre as curvas de
Deve-se construir um canteiro com a forma de setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 360m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máxima?
Determine
b)
b)
Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.