Deve-se construir um canteiro com a forma de setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 360m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que construir um canteiro com a forma de um setor circular, ou seja, uma “fatia” de círculo. Queremos descobrir qual deve ser o raio desse setor para que a área do canteiro seja a maior possível. Sabemos também que temos 360 metros de fio para cercar o canteiro com três voltas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a setores circulares e otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do setor circular. Um setor tem duas partes principais na sua “cerca”: dois raios e o arco que conecta esses raios. Se o fio da cerca dá três voltas em volta do perímetro do setor, o comprimento total do fio será três vezes o perímetro do setor.
Matematicamente, podemos expressar o perímetro do setor como:
onde é o raio do setor e é o comprimento do arco.
Como temos três voltas de fio, o comprimento total do fio é:
Portanto, o perímetro do setor é:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o comprimento do arco com o raio . Sabemos que o comprimento do arco de um setor circular é dado por:
onde é o ângulo central do setor em radianos.
Substituindo na fórmula do perímetro:
Podemos simplificar essa equação:
E isolando :

Passo 4

A área de um setor circular é dada por:
Substituindo da equação anterior:
Simplificando:
Agora, temos a função da área em termos do raio :

Passo 5

Para encontrar o raio que maximiza a área, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos o valor do raio metros, vamos encontrar o ângulo :
E finalmente, calculamos a área máxima:

Resposta

O raio do setor deve ser de 30 metros para que a área do canteiro seja a maior possível, e a área máxima alcançada é de 900 metros quadrados.

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