Deve-se construir um canteiro com a forma de setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 360m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máxima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que construir um canteiro com a forma de um setor circular, ou seja, uma “fatia” de círculo. Queremos descobrir qual deve ser o raio desse setor para que a área do canteiro seja a maior possível. Sabemos também que temos 360 metros de fio para cercar o canteiro com três voltas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a setores circulares e otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do setor circular. Um setor tem duas partes principais na sua “cerca”: dois raios e o arco que conecta esses raios. Se o fio da cerca dá três voltas em volta do perímetro do setor, o comprimento total do fio será três vezes o perímetro do setor.
Matematicamente, podemos expressar o perímetro
do setor como:
onde
é o raio do setor e
é o comprimento do arco.
Como temos três voltas de fio, o comprimento total do fio é:
Portanto, o perímetro do setor é:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o comprimento do arco
com o raio
. Sabemos que o comprimento do arco de um setor circular é dado por:
onde
é o ângulo central do setor em radianos.
Substituindo
na fórmula do perímetro:
Podemos simplificar essa equação:
E isolando
:
Passo 4
A área
de um setor circular é dada por:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Agora, temos a função da área em termos do raio
:
Passo 5
Para encontrar o raio que maximiza a área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos o valor do raio
metros, vamos encontrar o ângulo
:
E finalmente, calculamos a área máxima:
Resposta
O raio do setor deve ser de 30 metros para que a área do canteiro seja a maior possível, e a área máxima alcançada é de 900 metros quadrados.