Determine
b) A área delimitada entre as curvas de f(x) = sex(x) e f(x) = cos(x), x pertence a [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área que fica entre as curvas de e no intervalo de de a . A matéria envolvida é cálculo de áreas entre curvas, e para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas funções se encontram e depois calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Isso significa resolver a equação .

Passo 3

Sabemos que é o inverso de , ou seja, . Então, podemos escrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por (e lembrando que ):
Então,
Isso acontece quando , e no intervalo de a .

Passo 4

Agora, precisamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção: , , e .
  • Intervalo : e . Então, está acima de .
  • Intervalo : e . Aqui, está acima de .
  • Intervalo : Similar ao primeiro intervalo, .

Passo 5

Vamos calcular a área em cada intervalo onde cada função está acima.
  1. Para e :
  1. Para :
Vamos resolver cada integral:
  • Integral de :
  • Integral de :

Passo 6

Calculando :
Note que em e , tende ao infinito, mas a diferença geral converge.
Calculando :

Passo 7

Após calcular as integrais e simplificar, a soma das áreas e dará a área total delimitada entre as curvas.

Resposta

A área delimitada entre as curvas de e no intervalo é .

Exercícios relacionados