Determine
b) A área delimitada entre as curvas de
e
b) A área delimitada entre as curvas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área que fica entre as curvas de
e
no intervalo de
de
a
. A matéria envolvida é cálculo de áreas entre curvas, e para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas funções se encontram e depois calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Isso significa resolver a equação
.
Passo 3
Sabemos que
é o inverso de
, ou seja,
. Então, podemos escrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
):
Então,
Isso acontece quando
,
e
no intervalo de
a
.
Passo 4
Agora, precisamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção:
,
, e
.
-
Intervalo
: e . Então, está acima de . -
Intervalo
: e . Aqui, está acima de . -
Intervalo
: Similar ao primeiro intervalo, .
Passo 5
Vamos calcular a área em cada intervalo onde cada função está acima.
- Para
e :
- Para
:
Vamos resolver cada integral:
- Integral de
: - Integral de
:
Passo 6
Calculando
:
Note que em
e
,
tende ao infinito, mas a diferença geral converge.
Calculando
:
Passo 7
Após calcular as integrais e simplificar, a soma das áreas
e
dará a área total delimitada entre as curvas.
Resposta
A área delimitada entre as curvas de
e
no intervalo
é
.