Considere a circunferência com equação geral . Determine a posição relativa do ponto em relação à circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma circunferência, que é . O objetivo aqui é descobrir onde o ponto está em relação a essa circunferência. Para isso, vamos precisar transformar a equação geral em uma forma mais fácil de entender, chamada forma reduzida, que nos mostra o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação geral da circunferência:
A gente vai completar o quadrado para os termos de e . Isso ajuda a identificar o centro da circunferência.

Passo 3

Vamos agrupar os termos de e de :
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.

Passo 4

Para completar o quadrado do termo , pegamos metade do coeficiente de , que é 2, e elevamos ao quadrado, ficando . Então:
Fazemos o mesmo para o termo . Metade de -6 é -3, e :

Passo 5

Substituindo esses resultados na equação original:
Simplificando:
E isolando a parte dos quadrados:

Passo 6

Agora, a gente tem a equação da circunferência na forma reduzida:
Comparando com a nossa equação:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 7

Para determinar a posição do ponto , vamos calcular a distância dele até o centro da circunferência. A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando para e o centro :

Passo 8

Agora, comparamos a distância com o raio :
Como a distância do ponto ao centro é maior que o raio, isso significa que o ponto está fora da circunferência.

Resposta

O ponto está localizado fora da circunferência definida pela equação .

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva , o eixo , e as linhas verticais e , em torno do eixo .
Se e , determinar
Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
©
Calcule as coordenadas do vetor , que é ortogonal ao eixo , de modo que , onde e .