Considere a circunferência com equação geral
. Determine a posição relativa do ponto
em relação à circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma circunferência, que é
. O objetivo aqui é descobrir onde o ponto
está em relação a essa circunferência. Para isso, vamos precisar transformar a equação geral em uma forma mais fácil de entender, chamada forma reduzida, que nos mostra o centro e o raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação geral da circunferência:
A gente vai completar o quadrado para os termos de
e
. Isso ajuda a identificar o centro da circunferência.
Passo 3
Vamos agrupar os termos de
e de
:
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.
Passo 4
Para completar o quadrado do termo
, pegamos metade do coeficiente de
, que é 2, e elevamos ao quadrado, ficando
. Então:
Fazemos o mesmo para o termo
. Metade de -6 é -3, e
:
Passo 5
Substituindo esses resultados na equação original:
Simplificando:
E isolando a parte dos quadrados:
Passo 6
Agora, a gente tem a equação da circunferência na forma reduzida:
Comparando com a nossa equação:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Passo 7
Para determinar a posição do ponto
, vamos calcular a distância dele até o centro da circunferência. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando para
e o centro
:
Passo 8
Agora, comparamos a distância
com o raio
:
Como a distância do ponto ao centro é maior que o raio, isso significa que o ponto
está fora da circunferência.
Resposta
O ponto
está localizado fora da circunferência definida pela equação
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
, o eixo
, e as linhas verticais
e
, em torno do eixo
.
Se
e
, determinar
Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
©
©
Calcule as coordenadas do vetor
, que é ortogonal ao eixo
, de modo que
, onde
e
.