Considere a circunferência com equação geral x^2+y^2+4 x-6 y+9=0. Determine a posição relativa do ponto Q(0,0) em relação à circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma circunferência, que é . O objetivo aqui é descobrir onde o ponto está em relação a essa circunferência. Para isso, vamos precisar transformar a equação geral em uma forma mais fácil de entender, chamada forma reduzida, que nos mostra o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação geral da circunferência:
x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0
A gente vai completar o quadrado para os termos de e . Isso ajuda a identificar o centro da circunferência.

Passo 3

Vamos agrupar os termos de (x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 9 = 0 e de :
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.

Passo 4

Para completar o quadrado do termo x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 , pegamos metade do coeficiente de y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 , que é 2, e elevamos ao quadrado, ficando . Então:
Fazemos o mesmo para o termo . Metade de -6 é -3, e :

Passo 5

Substituindo esses resultados na equação original:
(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0
Simplificando:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0
E isolando a parte dos quadrados:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

Passo 6

Agora, a gente tem a equação da circunferência na forma reduzida:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 2^2
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 7

Para determinar a posição do ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , vamos calcular a distância dele até o centro da circunferência. A fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 e é:
Aplicando para e o centro :

Passo 8

Agora, comparamos a distância raiz13 approx 3,605 > 2 com o raio :
Como a distância do ponto ao centro é maior que o raio, isso significa que o ponto está fora da circunferência.

Resposta

O ponto está localizado fora da circunferência definida pela equação .

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