Calcule as coordenadas do vetor , que é ortogonal ao eixo , de modo que , onde e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do vetor que é ortogonal ao eixo . Além disso, sabemos que o vetor , onde e . Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de produto vetorial e as propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Quando dizemos que o vetor é ortogonal ao eixo , isso significa que não tem componente na direção . Em outras palavras, a coordenada de é zero. Então, podemos representar da seguinte forma:
Onde e são as componentes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o vetor é o produto vetorial de e . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Simplificando, obtemos:

Passo 4

Agora, sabemos que . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:
Agora, sabendo que , substituímos na segunda equação:
Isso confirma que nossos valores estão corretos.

Resposta

As coordenadas do vetor são .

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Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
©
Considere a circunferência com equação geral . Determine a posição relativa do ponto em relação à circunferência.
Determinar o vetor , paralelo ao vetor , tal que .
Mostre que todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores e . Que relação existe entre e ?