Calcule as coordenadas do vetor v, que é ortogonal ao eixo y, de modo que u=v times w, onde u=(1,1,-1) e w=(2,-1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do vetor que é ortogonal ao eixo . Além disso, sabemos que o vetor , onde e . Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de produto vetorial e as propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Quando dizemos que o vetor v = (vx, 0, vz) é ortogonal ao eixo , isso significa que não tem componente na direção . Em outras palavras, a coordenada de é zero. Então, podemos representar da seguinte forma:
Onde e são as componentes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o vetor a times b = (ay bz - az by,, az bx - ax bz,, ax by - ay bx) é o produto vetorial de v times w = (0 cdot 1 - vz cdot (-1),, vz cdot 2 - vx cdot 1,, vx cdot (-1) - 0 cdot 2) e v times w = (vz,, 2vz - vx,, -vx) . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Simplificando, obtemos:

Passo 4

Agora, sabemos que vz = 1 2vz - vx = 1 - vx = -1 . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- vx = -1 Rightarrow vx = 1
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:
2(1) - 1 = 1 Rightarrow 2 - 1 = 1 Rightarrow 1 = 1
Agora, sabendo que , substituímos na segunda equação:
Isso confirma que nossos valores estão corretos.

Resposta

As coordenadas do vetor são .

Exercícios relacionados