Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números complexos. O subconjunto
é definido como
. Queremos verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar três propriedades básicas:
- Presença do vetor nulo: O vetor zero deve estar em
. - Fechamento pela adição: A soma de quaisquer dois vetores em
também deve estar em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor de
por um número escalar deve resultar em um vetor que ainda está em .
Passo 2
Verificar se o vetor nulo está em
:
O vetor nulo em
é
. Vamos ver se existe um
tal que
.
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira, temos:
Então, não existe
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, o vetor nulo não está em
.
Passo 3
Conclusão sobre o vetor nulo:
Como o vetor nulo
não pertence a
,
não satisfaz a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial.
Passo 4
Verificação das demais propriedades (opcional):
Embora já tenhamos concluído que
não é um subespaço devido à ausência do vetor nulo, por completude, vamos também verificar as outras propriedades.
-
Fechamento pela adição:
Se tomarmos dois vetores quaisquere em , sua soma é: Para que essa soma pertença a, deveria existir um tal que: Substituindona primeira equação: O que é falso. Portanto,não é fechado pela adição. -
Fechamento pela multiplicação por escalar:
Se multiplicarmos um vetorpor um escalar , obtemos: Para que isso pertença a, deveria existir um tal que: Substituindona primeira equação: Isso mostra que apenas paraa propriedade se mantém, o que não é geral. Portanto, não é fechado pela multiplicação por escalar.
Resposta
Não,
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor nulo.
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Considere a circunferência com equação geral
. Determine a posição relativa do ponto
em relação à circunferência.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
, o eixo
, e as linhas verticais
e
, em torno do eixo
.
Calcule as coordenadas do vetor
, que é ortogonal ao eixo
, de modo que
, onde
e
.
Determinar o vetor
, paralelo ao vetor
, tal que
.