Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os pares ordenados de números complexos. O subconjunto é definido como . Queremos verificar se é um subespaço vetorial de .
Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar três propriedades básicas:
  1. Presença do vetor nulo: O vetor zero deve estar em .
  2. Fechamento pela adição: A soma de quaisquer dois vetores em também deve estar em .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor de por um número escalar deve resultar em um vetor que ainda está em .

Passo 2

Verificar se o vetor nulo está em :
O vetor nulo em é . Vamos ver se existe um tal que .
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, temos:
Então, não existe que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, o vetor nulo não está em .

Passo 3

Conclusão sobre o vetor nulo:
Como o vetor nulo não pertence a , não satisfaz a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial.

Passo 4

Verificação das demais propriedades (opcional):
Embora já tenhamos concluído que não é um subespaço devido à ausência do vetor nulo, por completude, vamos também verificar as outras propriedades.
  • Fechamento pela adição:
    Se tomarmos dois vetores quaisquer e em , sua soma é:
    Para que essa soma pertença a , deveria existir um tal que:
    Substituindo na primeira equação:
    O que é falso. Portanto, não é fechado pela adição.
  • Fechamento pela multiplicação por escalar:
    Se multiplicarmos um vetor por um escalar , obtemos:
    Para que isso pertença a , deveria existir um tal que:
    Substituindo na primeira equação:
    Isso mostra que apenas para a propriedade se mantém, o que não é geral. Portanto, não é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

Não, não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor nulo.

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