Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
© V=C^2, W=(w+2 i, w) ; w in C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os pares ordenados de números complexos. O subconjunto é definido como . Queremos verificar se é um subespaço vetorial de .
Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar três propriedades básicas:
  1. Presença do vetor nulo: O vetor zero deve estar em .
  2. Fechamento pela adição: A soma de quaisquer dois vetores em também deve estar em .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor de por um número escalar deve resultar em um vetor que ainda está em .

Passo 2

Verificar se o vetor nulo está em w + 2i = 0 w = 0 :
O vetor nulo em 0 + 2i = 2i neq 0 é . Vamos ver se existe um tal que .
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, temos:
Então, não existe que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, o vetor nulo não está em .

Passo 3

Conclusão sobre o vetor nulo:
Como o vetor nulo não pertence a , não satisfaz a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial.

Passo 4

Verificação das demais propriedades (opcional):
Embora já tenhamos concluído que (w1 + w2 + 4i, w1 + w2) não é um subespaço devido à ausência do vetor nulo, por completude, vamos também verificar as outras propriedades.
  • Fechamento pela adição:
    Se tomarmos dois vetores quaisquer w + 2i = w1 + w2 + 4i e w = w1 + w2 e w1 + w2 + 2i = w1 + w2 + 4i implies 2i = 4i em (alpha w + 2alpha i, alpha w) , sua soma é:
    w' + 2i = alpha w + 2alpha i e w' = alpha w
    Para que essa soma pertença a alpha w + 2i = alpha w + 2alpha i implies 2i = 2alpha i implies alpha = 1 , deveria existir um tal que:
    Substituindo na primeira equação:
    O que é falso. Portanto, não é fechado pela adição.
  • Fechamento pela multiplicação por escalar:
    Se multiplicarmos um vetor por um escalar , obtemos:
    Para que isso pertença a , deveria existir um tal que:
    Substituindo na primeira equação:
    Isso mostra que apenas para a propriedade se mantém, o que não é geral. Portanto, não é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

Não, não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor nulo.

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