Considere a completa recuperação de células de leveduras provenientes do processo de fermentação para aprodução de etanol por meio de uma centrifuga de discos. Considere que o tamanho médio das células foi determinado como sendo de
e densidade, de
. Velocidade da centrifuga é de 5.000 rpm , e odiâmetro da centrifuga é de 10 cm , enquanto que o diâmetro até a superfície do sólido centrifugado é 4 cm , aaltura entre o fundo e a saída de líquido é de 100 cm . Estime a vazão máxima que esta centrifuga pode seralimentada. (Dados:
н
н
)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre recuperar células de leveduras usando uma centrífuga para produzir etanol. Estamos lidando com centrifugação, que é um processo para separar sólidos de líquidos usando a força centrífuga. Os dados que temos são:
- Tamanho médio das células:
- Densidade das células:
- Velocidade da centrífuga: 5.000 rpm
- Diâmetro da centrífuga: 10 cm
- Diâmetro até a superfície do sólido centrifugado: 4 cm
- Altura entre o fundo e a saída de líquido: 100 cm
- Dados adicionais:
,
Vamos precisar usar conceitos de força centrífuga, velocidade de sedimentação e fluxo máximo que a centrífuga pode suportar.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade da centrífuga de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque é a unidade que usamos nas fórmulas de física.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração centrífuga (
), que é dada por:
Onde:
-
é a velocidade angular em rad/s -
é o raio da centrífuga
Como o diâmetro da centrífuga é 10 cm, o raio
é 5 cm ou 0,05 m.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade de sedimentação (
) das células na centrífuga. Para isso, usamos a fórmula de Stokes para partículas esféricas em fluxo laminar:
Onde:
-
é o raio da partícula -
é a densidade da partícula -
é a densidade do fluido -
é a aceleração gravitacional
Mas na centrífuga, a aceleração
é substituída pela aceleração centrífuga
. Então:
Convertendo os valores:
- Diâmetro das células:
→ raio -
-
-
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, para encontrar a vazão máxima que a centrífuga pode ser alimentada, precisamos considerar a velocidade de sedimentação das células e a altura disponível para o líquido sair.
A vazão (
) pode ser estimada pela área de saída e pela velocidade do líquido na saída.
A área de saída é determinada pelo diâmetro da centrífuga e pelo diâmetro até a superfície do sólido centrifugado.
Primeiro, calculamos a área
:
Onde:
-
é o diâmetro da centrífuga -
é o diâmetro até a superfície do sólido
Convertendo para metros:
Então:
Passo 6
A velocidade do líquido na saída (
) está relacionada com a velocidade de sedimentação (
) e a altura disponível (
).
Usamos a relação:
Como o líquido precisa sair antes que as células sedimentem totalmente, consideramos que a velocidade do líquido é igual à velocidade de sedimentação:
Agora, a vazão máxima
é:
Convertendo para litros por segundo:
E para litros por hora:
Resposta
A vazão máxima que a centrífuga pode ser alimentada é aproximadamente 0,454 litros por hora.
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