Considere a completa recuperação de células de leveduras provenientes do processo de fermentação para aprodução de etanol por meio de uma centrifuga de discos. Considere que o tamanho médio das células foi determinado como sendo de e densidade, de . Velocidade da centrifuga é de 5.000 rpm , e odiâmetro da centrifuga é de 10 cm , enquanto que o diâmetro até a superfície do sólido centrifugado é 4 cm , aaltura entre o fundo e a saída de líquido é de 100 cm . Estime a vazão máxima que esta centrifuga pode seralimentada. (Dados: н н )

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre recuperar células de leveduras usando uma centrífuga para produzir etanol. Estamos lidando com centrifugação, que é um processo para separar sólidos de líquidos usando a força centrífuga. Os dados que temos são:
  • Tamanho médio das células:
  • Densidade das células:
  • Velocidade da centrífuga: 5.000 rpm
  • Diâmetro da centrífuga: 10 cm
  • Diâmetro até a superfície do sólido centrifugado: 4 cm
  • Altura entre o fundo e a saída de líquido: 100 cm
  • Dados adicionais: ,
Vamos precisar usar conceitos de força centrífuga, velocidade de sedimentação e fluxo máximo que a centrífuga pode suportar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade da centrífuga de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque é a unidade que usamos nas fórmulas de física.
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração centrífuga ( ), que é dada por:
Onde:
  • é a velocidade angular em rad/s
  • é o raio da centrífuga
Como o diâmetro da centrífuga é 10 cm, o raio é 5 cm ou 0,05 m.
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade de sedimentação ( ) das células na centrífuga. Para isso, usamos a fórmula de Stokes para partículas esféricas em fluxo laminar:
Onde:
  • é o raio da partícula
  • é a densidade da partícula
  • é a densidade do fluido
  • é a aceleração gravitacional
Mas na centrífuga, a aceleração é substituída pela aceleração centrífuga . Então:
Convertendo os valores:
  • Diâmetro das células: → raio
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, para encontrar a vazão máxima que a centrífuga pode ser alimentada, precisamos considerar a velocidade de sedimentação das células e a altura disponível para o líquido sair.
A vazão ( ) pode ser estimada pela área de saída e pela velocidade do líquido na saída.
A área de saída é determinada pelo diâmetro da centrífuga e pelo diâmetro até a superfície do sólido centrifugado.
Primeiro, calculamos a área :
Onde:
  • é o diâmetro da centrífuga
  • é o diâmetro até a superfície do sólido
Convertendo para metros:
Então:

Passo 6

A velocidade do líquido na saída ( ) está relacionada com a velocidade de sedimentação ( ) e a altura disponível ( ).
Usamos a relação:
Como o líquido precisa sair antes que as células sedimentem totalmente, consideramos que a velocidade do líquido é igual à velocidade de sedimentação:
Agora, a vazão máxima é:
Convertendo para litros por segundo:
E para litros por hora:

Resposta

A vazão máxima que a centrífuga pode ser alimentada é aproximadamente 0,454 litros por hora.

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