Encontre a série de Fourrier da função dada.
© f(x) = { x + 1, se -1 <= x <= 0; 1 - x, se 0 <= x < 1; f(x + 2) = f(x) }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função definida por:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier para construir a série.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função tem período , já que . O comprimento do intervalo é . A série de Fourier para uma função paráperiodo é dada por:
Vamos calcular os coeficientes , e .

Passo 3

Calculamos o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Dividimos a integral conforme a definição de :
Calculando as integrais:
Então:

Passo 4

Agora, calculamos os coeficientes , que multiplicam os termos de cosseno:
Substituindo :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas, de maneira simplificada, percebemos que a função é par (simétrica em relação ao eixo y), então os coeficientes serão zero.

Passo 5

Calculamos os coeficientes , que multiplicam os termos de seno:
Como a função é par e o seno é uma função ímpar, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
Onde são os coeficientes calculados no Passo 4.

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
onde os coeficientes são determinados pelas integrais definidas no Passo 4.

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