Encontre a série de Fourrier da função dada.
©

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função definida por:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier para construir a série.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função tem período , já que . O comprimento do intervalo é . A série de Fourier para uma função paráperiodo é dada por:
Vamos calcular os coeficientes , e .

Passo 3

Calculamos o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Dividimos a integral conforme a definição de :
Calculando as integrais:
Então:

Passo 4

Agora, calculamos os coeficientes , que multiplicam os termos de cosseno:
Substituindo :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas, de maneira simplificada, percebemos que a função é par (simétrica em relação ao eixo y), então os coeficientes serão zero.

Passo 5

Calculamos os coeficientes , que multiplicam os termos de seno:
Como a função é par e o seno é uma função ímpar, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
Onde são os coeficientes calculados no Passo 4.

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
onde os coeficientes são determinados pelas integrais definidas no Passo 4.

Exercícios relacionados

Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(b) .
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a) .
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(d) .
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
(b)