Encontre a série de Fourrier da função dada.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função
definida por:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier para construir a série.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
tem período
, já que
. O comprimento do intervalo é
. A série de Fourier para uma função paráperiodo
é dada por:
Vamos calcular os coeficientes
,
e
.
Passo 3
Calculamos o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Dividimos a integral conforme a definição de
:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 4
Agora, calculamos os coeficientes
, que multiplicam os termos de cosseno:
Substituindo
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas, de maneira simplificada, percebemos que a função
é par (simétrica em relação ao eixo y), então os coeficientes
serão zero.
Passo 5
Calculamos os coeficientes
, que multiplicam os termos de seno:
Como a função
é par e o seno é uma função ímpar, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
Passo 6
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
Onde
são os coeficientes calculados no Passo 4.
Resposta
A série de Fourier da função dada é:
onde os coeficientes
são determinados pelas integrais definidas no Passo 4.
Exercícios relacionados
Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(b) .
(b)
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a) .
(a)
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(d) .
(d)
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
(b)
(b)