Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região . Gera-se energia na placa à taxa de , enquanto a fronteira em conserva-se isolada, e em se dissipa calor por convecção para um meio a temperatura com um coeficiente de transferência de calor . Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de condução de calor. A questão fala sobre como o calor se move através de uma placa em equilíbrio térmico, ou seja, sem variações de temperatura ao longo do tempo. Vamos precisar usar a equação da condução de calor estacionária e aplicar as condições de contorno fornecidas: uma fronteira isolada em e outra com convecção em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na condução de calor estacionária unidimensional, sem variação de temperatura no tempo, a equação básica é:
Aqui, é a temperatura, a posição na placa, é a condutividade térmica, é a taxa de geração de energia, e é um coeficiente que caracteriza como a geração de calor varia com .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira . A placa é isolada nessa posição, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado pela derivada da temperatura em sendo igual a zero:
Isso significa que a inclinação da curva de temperatura em é zero, indicando nenhum fluxo de calor.
Passo 4
Por último, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira , onde ocorre convecção com o ambiente. A convecção é descrita pela equação de transferência de calor de Newton:
Aqui, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, e é a temperatura do ambiente. Essa equação relaciona o fluxo de calor na ponta com a diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ambiente.
Resposta
A formulação matemática do problema de condução de calor é dada pela equação diferencial acompanhada das condições de contorno: