Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região . Gera-se energia na placa à taxa de , enquanto a fronteira em conserva-se isolada, e em se dissipa calor por convecção para um meio a temperatura com um coeficiente de transferência de calor . Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de condução de calor. A questão fala sobre como o calor se move através de uma placa em equilíbrio térmico, ou seja, sem variações de temperatura ao longo do tempo. Vamos precisar usar a equação da condução de calor estacionária e aplicar as condições de contorno fornecidas: uma fronteira isolada em e outra com convecção em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na condução de calor estacionária unidimensional, sem variação de temperatura no tempo, a equação básica é:
Aqui, é a temperatura, a posição na placa, é a condutividade térmica, é a taxa de geração de energia, e é um coeficiente que caracteriza como a geração de calor varia com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira . A placa é isolada nessa posição, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado pela derivada da temperatura em sendo igual a zero:
Isso significa que a inclinação da curva de temperatura em é zero, indicando nenhum fluxo de calor.

Passo 4

Por último, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira , onde ocorre convecção com o ambiente. A convecção é descrita pela equação de transferência de calor de Newton:
Aqui, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, e é a temperatura do ambiente. Essa equação relaciona o fluxo de calor na ponta com a diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ambiente.

Resposta

A formulação matemática do problema de condução de calor é dada pela equação diferencial acompanhada das condições de contorno:

Exercícios relacionados

Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é:
a) A transferência de calor é permanente ou transiente?
b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
c) Há geração de calor no meio?
d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região . Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go , enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são e , respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são , respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior que sua espessura , encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é aproximadamente igual à do sorvedouro, . De repente uma corrente elétrica é passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura e coeficiente convectivo , é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície inferior continua mantida a . Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da posição e do tempo.
Ar entra em um compressor a , com velocidade desprezível e é descarregado a , com velocidade de 500 pés/s. Se a potência fornecida ao compressor for 3200 hp e a vazão em massa , determine a taxa de transferência de calor.