Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região 0 <= x <= L. Gera-se energia na placa à taxa de go e^-beta x W / m^3, enquanto a fronteira em x=0 conserva-se isolada, e em x=L se dissipa calor por convecção para um meio a temperatura Tinfty com um coeficiente de transferência de calor h W / m^2 ^circ C. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de condução de calor. A questão fala sobre como o calor se move através de uma placa em equilíbrio térmico, ou seja, sem variações de temperatura ao longo do tempo. Vamos precisar usar a equação da condução de calor estacionária e aplicar as condições de contorno fornecidas: uma fronteira isolada em e outra com convecção em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na condução de calor estacionária unidimensional, sem variação de temperatura no tempo, a equação básica é:
d^2 Tdx^2 + g0k e^-beta x = 0
Aqui, é a temperatura, a posição na placa, é a condutividade térmica, é a taxa de geração de energia, e é um coeficiente que caracteriza como a geração de calor varia com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira dTdx |x=0 = 0 . A placa é isolada nessa posição, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado pela derivada da temperatura em sendo igual a zero:
Isso significa que a inclinação da curva de temperatura em é zero, indicando nenhum fluxo de calor.

Passo 4

Por último, vamos aplicar a condição de contorno na fronteira -k dTdx |x=L = h (T(L) - Tinfty) , onde ocorre convecção com o ambiente. A convecção é descrita pela equação de transferência de calor de Newton:
Aqui, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, e é a temperatura do ambiente. Essa equação relaciona o fluxo de calor na ponta com a diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ambiente.

Resposta

A formulação matemática do problema de condução de calor é dada pela equação diferencial acompanhada das condições de contorno:
d^2 Tdx^2 + dfracg0k e^-beta x = 0, & 0 <= x <= L dfracdTdx |x=0 = 0, & x = 0 - k dfracdTdx |x=L = h (T(L) - Tinfty), & x = L

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