Considere uma placa de espessura e condutividade térmica constante k , na qual é gerado energia a uma taxa constante . A superfície em é isolada (adiabática) e a superfície em dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura .
Desenvolva expressões da temperatura e do fluxo de calor na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies nas seguintes condições: , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem uma placa com certa espessura , condutividade térmica , e está gerando calor internamente a uma taxa constante . A gente precisa encontrar a distribuição de temperatura ao longo da placa e o fluxo de calor . Além disso, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna de calor. A equação diferencial é:
Isso porque a geração de calor internamente é representada por , e é a condutividade térmica.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para . Integrando uma vez em relação a :
E integrando novamente para obter :
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, na superfície , a placa é adiabática, ou seja, não há fluxo de calor passando por lá. Isso significa que a derivada da temperatura em é zero:
Então, a equação de agora fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição na superfície , onde há convecção com o fluido externo. A condição de contorno para convecção é dada por:
Como , temos:
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir na equação acima para encontrar :
Substituindo na condição de contorno:
Resolvendo para :
Passo 7
Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :
Simplificando:
Passo 8
Para o fluxo de calor , utilizamos a relação:
Calculando a derivada de :
Então:
Passo 9
Agora vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores fornecidos: