Considere uma placa de espessura e condutividade térmica constante k , na qual é gerado energia a uma taxa constante . A superfície em é isolada (adiabática) e a superfície em dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura .
Desenvolva expressões da temperatura e do fluxo de calor na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies nas seguintes condições:
, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem uma placa com certa espessura , condutividade térmica , e está gerando calor internamente a uma taxa constante . A gente precisa encontrar a distribuição de temperatura ao longo da placa e o fluxo de calor . Além disso, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna de calor. A equação diferencial é:
Isso porque a geração de calor internamente é representada por , e é a condutividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para . Integrando uma vez em relação a :
E integrando novamente para obter :
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, na superfície , a placa é adiabática, ou seja, não há fluxo de calor passando por lá. Isso significa que a derivada da temperatura em é zero:
Então, a equação de agora fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição na superfície , onde há convecção com o fluido externo. A condição de contorno para convecção é dada por:
Como , temos:
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação acima para encontrar :
Substituindo na condição de contorno:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :
Simplificando:

Passo 8

Para o fluxo de calor , utilizamos a relação:
Calculando a derivada de :
Então:

Passo 9

Agora vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores fornecidos:
Primeiro, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:
Agora, as temperaturas:
Para :
Para :
Calculando o último termo:
Então:

Resposta

A temperatura na superfície é e na superfície é .

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