Considere um cilindro maciço de raio no qual é gerada energia a uma taxa constante , enquanto a superfície em é mantida a uma temperatura constante . Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura , unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor q ®.
Calcule a temperatura no eixo e o fluxo de calor na superfície com , e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um cilindro sólido com raio , onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa de watts por metro cúbico ( ). A superfície do cilindro ( ) está mantida a uma temperatura constante . Precisamos descobrir como a temperatura varia dentro do cilindro, ou seja, , onde a variação é apenas na direção radial. Além disso, queremos encontrar o fluxo de calor nessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações de estado estacionário em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação de condução de calor em estado estacionário e sem geração interna de calor:
Aqui, é a condutividade térmica do material. Essa equação leva em conta a geração de calor interna .

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :

Passo 4

Integrando novamente em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e . Sabemos que na superfície , a temperatura é :
Além disso, para que a temperatura seja finita no centro ( ), o termo não pode divergir, o que só é possível se .

Passo 6

Com , a expressão para a temperatura fica:
Usando a condição :
Portanto, a distribuição de temperatura é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a temperatura no centro do cilindro ( ):

Passo 8

Para encontrar o fluxo de calor na superfície , usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
Primeiro, derivamos :
Então, o fluxo de calor é:
Na superfície :

Resposta

A temperatura no eixo é e o fluxo de calor na superfície é . Com os valores fornecidos:
Portanto:
  • Temperatura no eixo :
  • Fluxo de calor na superfície :

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, e .
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