Considere um cilindro maciço de raio
no qual é gerada energia a uma taxa constante
, enquanto a superfície em
é mantida a uma temperatura constante
. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura
, unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor q ®.
Calcule a temperatura no eixo
e o fluxo de calor na superfície
com
,
e
.
Calcule a temperatura no eixo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um cilindro sólido com raio
, onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa de
watts por metro cúbico (
). A superfície do cilindro (
) está mantida a uma temperatura constante
. Precisamos descobrir como a temperatura varia dentro do cilindro, ou seja,
, onde a variação é apenas na direção radial. Além disso, queremos encontrar o fluxo de calor
nessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações de estado estacionário em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação de condução de calor em estado estacionário e sem geração interna de calor:
Aqui,
é a condutividade térmica do material. Essa equação leva em conta a geração de calor interna
.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Dividindo por
:
Passo 4
Integrando novamente em relação a
:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. Sabemos que na superfície
, a temperatura é
:
Além disso, para que a temperatura seja finita no centro (
), o termo
não pode divergir, o que só é possível se
.
Passo 6
Com
, a expressão para a temperatura fica:
Usando a condição
:
Portanto, a distribuição de temperatura é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a temperatura no centro do cilindro (
):
Passo 8
Para encontrar o fluxo de calor na superfície
, usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
Primeiro, derivamos
:
Então, o fluxo de calor é:
Na superfície
:
Resposta
A temperatura no eixo é
e o fluxo de calor na superfície é
. Com os valores fornecidos:
Portanto:
- Temperatura no eixo
: - Fluxo de calor na superfície
: