Considere um cilindro maciço de raio r=b no qual é gerada energia a uma taxa constante g0 W / m^3, enquanto a superfície em r=b é mantida a uma temperatura constante T2. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura T(r), unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor q ®.
Calcule a temperatura no eixo T(0) e o fluxo de calor na superfície r=b com b=1 cm, g0=2 x 108 W / m 3, k=20 w / m^circ C e T2=100^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um cilindro sólido com raio , onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa de watts por metro cúbico ( ). A superfície do cilindro ( ) está mantida a uma temperatura constante . Precisamos descobrir como a temperatura varia dentro do cilindro, ou seja, , onde a variação é apenas na direção radial. Além disso, queremos encontrar o fluxo de calor nessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações de estado estacionário em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação de condução de calor em estado estacionário e sem geração interna de calor:
1r ddr ( r dTdr ) + g0k = 0
Aqui, é a condutividade térmica do material. Essa equação leva em conta a geração de calor interna .

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial:
1r ddr ( r dTdr ) = -g0k
Multiplicando ambos os lados por ddr ( r dTdr ) = -g0k r :
r dTdr = -g02k r^2 + C1
Integrando em relação a dTdr = -g02k r + C1r :
Dividindo por :

Passo 4

Integrando novamente em relação a T(r) = -g04k r^2 + C1 ln r + C2 :

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes T(b) = -g04k b^2 + C1 ln b + C2 = T2 e . Sabemos que na superfície , a temperatura é :
Além disso, para que a temperatura seja finita no centro ( ), o termo não pode divergir, o que só é possível se .

Passo 6

Com T(r) = -g04k r^2 + C2 , a expressão para a temperatura fica:
T2 = -g04k b^2 + C2 implies C2 = T2 + g04k b^2
Usando a condição T(r) = T2 + g04k (b^2 - r^2) :
Portanto, a distribuição de temperatura é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a temperatura no centro do cilindro ( T(0) = T2 + g04k b^2 ):

Passo 8

Para encontrar o fluxo de calor na superfície q(r) = -k dTdr , usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
dTdr = -g02k r
Primeiro, derivamos q(r) = -k ( -g02k r ) = g02 r :
q(b) = g02 b
Então, o fluxo de calor é:
Na superfície :

Resposta

A temperatura no eixo é T(0) = 100,°C + dfrac2 times 10^8,W/m^3 times (0,01,m)^24 times 20,W/m°C = 100,°C + dfrac2 times 10^8 times 1 times 10^-480 = 100,°C + 250,°C = 350,°C e o fluxo de calor na superfície é q(b) = dfrac2 times 10^8,W/m^3 times 0,01,m2 = 1 times 10^6,W/m^2 . Com os valores fornecidos:
Portanto:
  • Temperatura no eixo :
  • Fluxo de calor na superfície :

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