Considere a cônica de equação
.
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma padrão.
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma padrão.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação da cônica
. Nosso objetivo aqui é completar os quadrados para reescrever essa equação na forma padrão da cônica. Para isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra para reorganizar os termos e completar os quadrados tanto para
quanto para
.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos que envolvem
e os que envolvem
. Assim, reescrevemos a equação da seguinte forma:
Agrupando:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, fatoramos o coeficiente de
, que é 4:
Passo 4
Dentro do parêntese, temos
. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 5
Distribuímos o 4 de volta:
Agora, vamos tratar dos termos de
. Fatoramos o coeficiente de
, que é -9:
Passo 6
Dentro do parêntese, temos
. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(que é -2), ou seja, -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 7
Distribuímos o -9 de volta:
Agora, somamos os termos constantes:
Passo 8
Isolamos os termos com
e
do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, dividimos todos os termos por 18 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação na forma padrão é: