Considere a cônica de equação 4 x^2-16 x-9 y^2+18 y=11.
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma padrão.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação da cônica . Nosso objetivo aqui é completar os quadrados para reescrever essa equação na forma padrão da cônica. Para isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra para reorganizar os termos e completar os quadrados tanto para quanto para .

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos que envolvem 4x^2 - 16x - 9y^2 + 18y = 11 e os que envolvem 4x^2 - 16x - 9y^2 + 18y = 11 . Assim, reescrevemos a equação da seguinte forma:
Agrupando:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 - 4x) - 9y^2 + 18y = 11 . Para isso, fatoramos o coeficiente de , que é 4:

Passo 4

Dentro do parêntese, temos 4(x^2 - 4x + 4 - 4) - 9y^2 + 18y = 11 . Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de 4((x - 2)^2 - 4) - 9y^2 + 18y = 11 (que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 5

Distribuímos o 4 de volta:
4(x - 2)^2 - 16 - 9y^2 + 18y = 11
Agora, vamos tratar dos termos de 4(x - 2)^2 - 16 - 9(y^2 - 2y) = 11 . Fatoramos o coeficiente de , que é -9:

Passo 6

Dentro do parêntese, temos 4(x - 2)^2 - 16 - 9(y^2 - 2y + 1 - 1) = 11 . Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de 4(x - 2)^2 - 16 - 9((y - 1)^2 - 1) = 11 (que é -2), ou seja, -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 7

Distribuímos o -9 de volta:
4(x - 2)^2 - 16 - 9(y - 1)^2 + 9 = 11
Agora, somamos os termos constantes:
4(x - 2)^2 - 9(y - 1)^2 - 7 = 11

Passo 8

Isolamos os termos com 4(x - 2)^2 - 9(y - 1)^2 = 18 e do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, dividimos todos os termos por 18 para obter a forma padrão:
(x - 2)^2184 - (y - 1)^2189 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^24.5 - (y - 1)^22 = 1

Resposta

A equação na forma padrão é:
(x - 2)^24.5 - (y - 1)^22 = 1

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