Considere o sistema linear abaixo:
l 2 x+3 y+z=1 x-y+2 z=7 3 x+2 y-z=4
(a) Resolva o sistema utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
l 2x + 3y + z = 1 x - y + 2z = 7 3x + 2y - z = 4
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss. Esse método nos ajuda a resolver sistemas de equações eliminando uma variável de cada vez, transformando o sistema em uma forma mais simples. Vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis e chegar em uma solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de forma que possamos eliminar uma variável. Vamos tentar eliminar o 2x + 3y + z = 1 (1) das segunda e terceira equações usando a primeira equação.
A primeira equação é:
x - y + 2z = 7 (2)
A segunda equação é:
3x + 2y - z = 4 (3)
A terceira equação é:

Passo 3

Vamos eliminar o 2x = 1 - 3y - z x = 1 - 3y - z2 da segunda equação. Para isso, podemos resolver a primeira equação para 1 - 3y - z2 - y + 2z = 7 e substituir na segunda.
Da equação (1):
1 - 3y - z - 2y + 4z = 14 1 - 5y + 3z = 14
Substituindo -5y + 3z = 13 (4) na equação (2):
Vamos simplificar isso multiplicando todos os termos por 2 para se livrar do denominador:
Agora, isolamos os termos:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3(2x + 3y + z) = 3(1) 6x + 9y + 3z = 3 (5) da terceira equação usando a primeira equação.
Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 3 para facilitar a eliminação:
(6x + 9y + 3z) - (3x + 2y - z) = 3 - 4 3x + 7y + 4z = -1 (6)
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (5):

Passo 5

Agora temos duas novas equações sem -5y + 3z = 13 (4) 3x + 7y + 4z = -1 (6) :
x = 1 - 3y - z2
Mas percebemos que na equação (6) ainda temos 3(1 - 3y - z2) + 7y + 4z = -1 3 - 9y - 3z2 + 7y + 4z = -1 . Vamos resolver a equação (1) para 3 - 9y - 3z + 14y + 8z = -2 3 + 5y + 5z = -2 novamente e substituir na equação (6).
Da equação (1):
5y + 5z = -5 (7)
Substituindo na equação (6):
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Isolando os termos:

Passo 6

Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( -5y + 3z = 13 (4) 5y + 5z = -5 (7) e (-5y + 3z) + (5y + 5z) = 13 + (-5) 8z = 8 ):
z = 88 z = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora, resolvemos para :

Passo 7

Agora que sabemos que -5y + 3(1) = 13 -5y + 3 = 13 -5y = 13 - 3 -5y = 10 y = 10-5 y = -2 , substituímos esse valor na equação (4) para encontrar :

Passo 8

Com os valores de 2x + 3(-2) + 1 = 1 2x - 6 + 1 = 1 2x - 5 = 1 2x = 1 + 5 2x = 6 x = 62 x = 3 e encontrados, vamos voltar à equação (1) para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = -2, z = 1

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