(a) Resolva o sistema utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
l 2x + 3y + z = 1 x - y + 2z = 7 3x + 2y - z = 4
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss. Esse método nos ajuda a resolver sistemas de equações eliminando uma variável de cada vez, transformando o sistema em uma forma mais simples. Vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis e chegar em uma solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de forma que possamos eliminar uma variável. Vamos tentar eliminar o 2x + 3y + z = 1 (1) das segunda e terceira equações usando a primeira equação.
A primeira equação é:
x - y + 2z = 7 (2)
A segunda equação é:
3x + 2y - z = 4 (3)
A terceira equação é:
Passo 3
Vamos eliminar o 2x = 1 - 3y - z x = 1 - 3y - z2 da segunda equação. Para isso, podemos resolver a primeira equação para 1 - 3y - z2 - y + 2z = 7 e substituir na segunda.
Da equação (1):
1 - 3y - z - 2y + 4z = 14 1 - 5y + 3z = 14
Substituindo -5y + 3z = 13 (4) na equação (2):
Vamos simplificar isso multiplicando todos os termos por 2 para se livrar do denominador:
Agora, isolamos os termos:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o 3(2x + 3y + z) = 3(1) 6x + 9y + 3z = 3 (5) da terceira equação usando a primeira equação.
Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 3 para facilitar a eliminação: