Dada a matriz
a)Determine suas raízes e vetores característicos.
b)Determine a decomposição espectral de A.
c) Obtenha através do resultado do exercício anterior.
d)Determine tal que P.P.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisamos resolver quatro partes:
a) Encontrar as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) de .
b) Determinar a decomposição espectral de .
c) Obter a inversa de , , usando o resultado da decomposição espectral.
d) Encontrar uma matriz tal que .
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de autovalores, autovetores, decomposição espectral e propriedades de matrizes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar pela parte a): encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Primeiro, autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Vamos calcular isso:
Explicando: a determinante de uma matriz 2x2 é .
Vamos expandir:
Então:
Agora, resolvemos a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Isso resulta em:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é:
Para :
Isso resulta em:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é:
Passo 3
Agora vamos para a parte b): determinar a decomposição espectral de .
A decomposição espectral de uma matriz é dada por:
onde é uma matriz diagonal com os autovalores de e é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Já encontramos os autovalores e , e os autovetores e .
Montamos a matriz com os autovetores:
E a matriz diagonal :
Portanto, a decomposição espectral de é:
Passo 4
Passando para a parte c): obter usando a decomposição espectral.
Sabemos que:
Para encontrar , basta inverter essa expressão:
Então, precisamos primeiro encontrar :
Agora, calculamos .
Primeiro, encontramos . A inversa de uma matriz 2x2 é:
Para :
Então:
Agora, multiplicamos , e :
Vamos multiplicar passo a passo:
Primeiro, :
Agora, multiplicamos pelo :
Calculando os elementos:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte d): determinar a matriz tal que .
Queremos encontrar uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulte em . Ou seja:
Para encontrar tal matriz, podemos usar a decomposição espectral que encontramos anteriormente:
Se assumirmos que é uma matriz que diagonaliza , então podemos definir , onde é a matriz dos autovetores, e V a matriz diagonal dos autovalores.
No entanto, para , precisamos que seja a matriz quadrada de . Isso significa que é uma raiz quadrada de . Uma maneira de fazer isso é considerar a decomposição espectral e trabalhar com as raízes dos autovalores.