Dada a matriz
A=[cc9 & -2 -2 & 6]
a)Determine suas raízes e vetores característicos.
b)Determine a decomposição espectral de A.
c) Obtenha A^-1 através do resultado do exercício anterior.
d)Determine P tal que A= P.P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 9 & -2 -2 & 6 e precisamos resolver quatro partes:
a) Encontrar as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) de .
b) Determinar a decomposição espectral de .
c) Obter a inversa de , , usando o resultado da decomposição espectral.
d) Encontrar uma matriz tal que .
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de autovalores, autovetores, decomposição espectral e propriedades de matrizes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar pela parte a): encontrar os autovalores e autovetores da matriz det(A - lambda I) = 0 .
Primeiro, autovalores são valores de A - lambda I = 9 - lambda & -2 -2 & 6 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (9 - lambda)(6 - lambda) - (-2)(-2) = (9 - lambda)(6 - lambda) - 4
onde a & b c & d é a matriz identidade.
Vamos calcular isso:
(9 - lambda)(6 - lambda) = 54 - 9lambda - 6lambda + lambda^2 = lambda^2 - 15lambda + 54
det(A - lambda I) = lambda^2 - 15lambda + 54 - 4 = lambda^2 - 15lambda + 50
Explicando: a determinante de uma matriz 2x2 lambda^2 - 15lambda + 50 = 0 é lambda = 15 pm raiz225 - 2002 = 15 pm raiz252 = 15 pm 52 .
Vamos expandir:
lambda1 = 15 + 52 = 10 e lambda2 = 15 - 52 = 5
Então:
(A - 10I)v = 0 implies -1 & -2 -2 & -4 v1 v2 = 0 0
Agora, resolvemos a equação:
-1v1 - 2v2 = 0 implies v1 = -2v2
Usando a fórmula de Bhaskara:
v1 = -2 1
Assim, os autovalores são:
(A - 5I)v = 0 implies 4 & -2 -2 & 1 v1 v2 = 0 0
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 4v1 - 2v2 = 0 implies 2v1 = v2 :
v2 = 1 2
Isso resulta em:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é:
Para :
Isso resulta em:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é:

Passo 3

Agora vamos para a parte b): determinar a decomposição espectral de A = PDP^-1 .
A decomposição espectral de uma matriz -2 1 é dada por:
1 2
onde P = -2 & 1 1 & 2 é uma matriz diagonal com os autovalores de D = 10 & 0 0 & 5 e A = PDP^-1 é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Já encontramos os autovalores e , e os autovetores e .
Montamos a matriz com os autovetores:
E a matriz diagonal :
Portanto, a decomposição espectral de é:

Passo 4

Passando para a parte c): obter A = PDP^-1 usando a decomposição espectral.
Sabemos que:
A^-1 = (PDP^-1)^-1 = PD^-1P^-1
Para encontrar D^-1 = 110 & 0 0 & 15 , basta inverter essa expressão:
a & b c & d
Então, precisamos primeiro encontrar 1ad - bc d & -b -c & a :
det(P) = (-2)(2) - (1)(1) = -4 -1 = -5
Agora, calculamos P^-1 = 1-5 2 & -1 -1 & -2 = -25 & 15 15 & 25 .
Primeiro, encontramos A^-1 = P D^-1 P^-1 = -2 & 1 1 & 2 110 & 0 0 & 15 -25 & 15 15 & 25 . A inversa de uma matriz 2x2 -2 & 1 1 & 2 110 & 0 0 & 15 = -2 cdot 110 + 1 cdot 0 & -2 cdot 0 + 1 cdot 15 1 cdot 110 + 2 cdot 0 & 1 cdot 0 + 2 cdot 15 = -15 & 15 110 & 25 é:
-15 & 15 110 & 25 -25 & 15 15 & 25 = (-15)(-25) + (15)(15) & (-15)(15) + (15)(25) (110)(-25) + (25)(15) & (110)(15) + (25)(25)
Para A^-1 = 225 + 125 & -125 + 225 -250 + 225 & 150 + 425 = 325 & 125 025 & 950 :
A^-1 = 325 & 125 0 & 950
Então:
Agora, multiplicamos , e :
Vamos multiplicar passo a passo:
Primeiro, :
Agora, multiplicamos pelo :
Calculando os elementos:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte d): determinar a matriz P cdot P = A tal que A = PDP^-1 .
Queremos encontrar uma matriz P = Q Lambda Q^-1 que, ao ser multiplicada por si mesma, resulte em Lambda = raiz10 & 0 0 & raiz5 . Ou seja:
P = Q Lambda Q^-1 = P cdot Lambda cdot P^-1
Para encontrar tal matriz, podemos usar a decomposição espectral que encontramos anteriormente:
P cdot P = (Q Lambda Q^-1) (Q Lambda Q^-1) = Q Lambda (Q^-1 Q) Lambda Q^-1 = Q Lambda^2 Q^-1 = Q D Q^-1 = A
Se assumirmos que P = Q Lambda Q^-1 = -2 & 1 1 & 2 raiz10 & 0 0 & raiz5 -25 & 15 15 & 25 é uma matriz que diagonaliza , então podemos definir , onde é a matriz dos autovetores, e V a matriz diagonal dos autovalores.
No entanto, para , precisamos que seja a matriz quadrada de . Isso significa que é uma raiz quadrada de . Uma maneira de fazer isso é considerar a decomposição espectral e trabalhar com as raízes dos autovalores.
Vamos assumir que:
onde é a raiz quadrada de :
Então:
Assim, multiplicando por si mesmo:
Portanto, a matriz que satisfaz é:

Resposta

a) Autovalores: v1 = -2 1 , v2 = 1 2 e A = PDP^-1, D = 10 & 0 0 & 5 , P = -2 & 1 1 & 2 ;
Autovetores:
A^-1 = 325 & 125 0 & 950
b) Decomposição espectral:
P = -2 & 1 1 & 2 raiz10 & 0 0 & raiz5 -25 & 15 15 & 25
c) Matriz inversa:
d) Matriz tal que :

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