Dada a matriz
a)Determine suas raízes e vetores característicos.
b)Determine a decomposição espectral de A.
c) Obtenha
através do resultado do exercício anterior.
d)Determine
tal que
P.P.
a)Determine suas raízes e vetores característicos.
b)Determine a decomposição espectral de A.
c) Obtenha
d)Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
e precisamos resolver quatro partes:
a) Encontrar as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) de
.
b) Determinar a decomposição espectral de
.
c) Obter a inversa de
,
, usando o resultado da decomposição espectral.
d) Encontrar uma matriz
tal que
.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de autovalores, autovetores, decomposição espectral e propriedades de matrizes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar pela parte a): encontrar os autovalores e autovetores da matriz
.
Primeiro, autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Vamos calcular isso:
Explicando: a determinante de uma matriz 2x2
é
.
Vamos expandir:
Então:
Agora, resolvemos a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os autovalores são:
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Isso resulta em:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor para
é:
Para
:
Isso resulta em:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor para
é:
Passo 3
Agora vamos para a parte b): determinar a decomposição espectral de
.
A decomposição espectral de uma matriz
é dada por:
onde
é uma matriz diagonal com os autovalores de
e
é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Já encontramos os autovalores
e
, e os autovetores
e
.
Montamos a matriz
com os autovetores:
E a matriz diagonal
:
Portanto, a decomposição espectral de
é:
Passo 4
Passando para a parte c): obter
usando a decomposição espectral.
Sabemos que:
Para encontrar
, basta inverter essa expressão:
Então, precisamos primeiro encontrar
:
Agora, calculamos
.
Primeiro, encontramos
. A inversa de uma matriz 2x2
é:
Para
:
Então:
Agora, multiplicamos
,
e
:
Vamos multiplicar passo a passo:
Primeiro,
:
Agora, multiplicamos pelo
:
Calculando os elementos:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte d): determinar a matriz
tal que
.
Queremos encontrar uma matriz
que, ao ser multiplicada por si mesma, resulte em
. Ou seja:
Para encontrar tal matriz, podemos usar a decomposição espectral que encontramos anteriormente:
Se assumirmos que
é uma matriz que diagonaliza
, então podemos definir
, onde
é a matriz dos autovetores, e V
a matriz diagonal dos autovalores.
No entanto, para
, precisamos que
seja a matriz quadrada de
. Isso significa que
é uma raiz quadrada de
. Uma maneira de fazer isso é considerar a decomposição espectral e trabalhar com as raízes dos autovalores.
Vamos assumir que:
onde
é a raiz quadrada de
:
Então:
Assim, multiplicando
por si mesmo:
Portanto, a matriz
que satisfaz
é:
Resposta
a) Autovalores:
e
;
Autovetores:
Autovetores:
b) Decomposição espectral:
c) Matriz inversa:
d) Matriz
tal que
: