considere um conjunto de 9 aletas retangulares de alumínio fixadas à uma superfície plana de dimensões: (largura
; altura
e espessura
). As aletas são todas iguais e possuem as seguintes dimensões (comprimento
, largura
e altura
) e estão igualmente distribuídas na superfície da parede. Tanto as aletas quanto a face da parede onde estão as aletas foram fixadas, estão sujeitas ao resfriamento por convecção forçada de Ar , cuja temperatura é de
e coeficiente de transferência de calor é igual a
. Tomando as propriedades do alumínio como sendo
e
, e a temperatura da base da parede como
, determine: a) a temperatura da aleta à
da base
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender os conceitos envolvidos. Temos uma parede plana com 9 aletas de alumínio fixadas nela. Essas aletas estão sujeitas ao resfriamento por convecção forçada com o ar a uma temperatura de
e um coeficiente de transferência de calor de
. A temperatura na base da parede é
. A gente precisa calcular a temperatura da aleta a
da base.
Para resolver isso, vamos usar a teoria das aletas em transferência de calor, especificamente a equação de equilíbrio térmico para aletas retangulares. Vamos precisar aplicar conceitos de condução de calor ao longo da aleta e convecção na superfície dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões da aleta e da parede:
- Dimensões da parede: largura = 23 cm, altura = 11 cm, espessura = 2 cm.
- Dimensões da aleta: comprimento = 10 cm, largura = 5 cm, altura = 1 cm.
Como as aletas estão igualmente distribuídas na parede, vamos focar em uma única aleta para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos considerar que o calor flui da base da aleta (a temperatura
) para a ponta, onde é dissipado por convecção com o ar. Para isso, usamos a equação da temperatura ao longo da aleta:
Onde:
-
é a temperatura na posição da aleta. -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção. -
é o perímetro da aleta. -
é a condutividade térmica do alumínio. -
é a área de seção transversal da aleta. -
é a temperatura do ar.
Passo 4
Vamos calcular os valores necessários:
- Perímetro da aleta (
):
- Área de seção transversal (
):
- Parâmetro da aleta (
):
Passo 5
A solução geral da equação diferencial para a temperatura ao longo da aleta é:
Onde:
-
é a temperatura na base da aleta ( ). -
é o comprimento total da aleta ( ). -
é a distância da base onde queremos a temperatura ( ).
Passo 6
Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, calculamos os argumentos das funções cosseno hiperbólico:
Então:
Calculando os valores dos cossenos hiperbólicos:
Substituindo:
Resposta
A temperatura da aleta a
da base é aproximadamente
.
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