considere um conjunto de 9 aletas retangulares de alumínio fixadas à uma superfície plana de dimensões: (largura =23 cm; altura =11 cm e espessura =2 cm ). As aletas são todas iguais e possuem as seguintes dimensões (comprimento =10 cm, largura =5,0 cm e altura =1,0 cm ) e estão igualmente distribuídas na superfície da parede. Tanto as aletas quanto a face da parede onde estão as aletas foram fixadas, estão sujeitas ao resfriamento por convecção forçada de Ar , cuja temperatura é de 20^circ C e coeficiente de transferência de calor é igual a 200 W / m^2 K. Tomando as propriedades do alumínio como sendo rho=2700 kg / m^3, cp=900 J / kgK e k=200 W / mK, e a temperatura da base da parede como 40^circ C, determine: a) a temperatura da aleta à 2,5 cm da base

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender os conceitos envolvidos. Temos uma parede plana com 9 aletas de alumínio fixadas nela. Essas aletas estão sujeitas ao resfriamento por convecção forçada com o ar a uma temperatura de e um coeficiente de transferência de calor de . A temperatura na base da parede é . A gente precisa calcular a temperatura da aleta a da base.
Para resolver isso, vamos usar a teoria das aletas em transferência de calor, especificamente a equação de equilíbrio térmico para aletas retangulares. Vamos precisar aplicar conceitos de condução de calor ao longo da aleta e convecção na superfície dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões da aleta e da parede:
  • Dimensões da parede: largura = 23 cm, altura = 11 cm, espessura = 2 cm.
  • Dimensões da aleta: comprimento = 10 cm, largura = 5 cm, altura = 1 cm.
Como as aletas estão igualmente distribuídas na parede, vamos focar em uma única aleta para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos considerar que o calor flui da base da aleta (a temperatura d^2 Tdx^2 - h Pk Ac (T - Tinfty) = 0 ) para a ponta, onde é dissipado por convecção com o ar. Para isso, usamos a equação da temperatura ao longo da aleta:
Onde:
  • é a temperatura na posição da aleta.
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é o perímetro da aleta.
  • é a condutividade térmica do alumínio.
  • é a área de seção transversal da aleta.
  • é a temperatura do ar.

Passo 4

Vamos calcular os valores necessários:
  • Perímetro da aleta ( P = 2 times (largura + a):
Ac = largura times a
  • Área de seção transversal ( m = raizh Pk Ac = raiz200 times 0,12200 times 5 times 10^-4 = raiz240,1 = raiz240 approx 15,49,m^-1 ):
  • Parâmetro da aleta ( ):

Passo 5

A solução geral da equação diferencial para a temperatura ao longo da aleta é:
T(x) = Tinfty + (Tb - Tinfty) cosh(m(L - x)) / cosh(mL)
Onde:
  • é a temperatura na base da aleta ( ).
  • é o comprimento total da aleta ( ).
  • é a distância da base onde queremos a temperatura ( ).

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
T(0,025) = 20 + (40 - 20) cosh(15,49 times (0,1 - 0,025))cosh(15,49 times 0,1)
Primeiro, calculamos os argumentos das funções cosseno hiperbólico:
15,49 times (0,1 - 0,025) = 15,49 times 0,075 approx 1,162
15,49 times 0,1 = 1,549
Então:
T(0,025) = 20 + 20 times cosh(1,162)cosh(1,549)
Calculando os valores dos cossenos hiperbólicos:
cosh(1,162) approx 1,885
cosh(1,549) approx 2,595
Substituindo:
T(0,025) = 20 + 20 times 1,8852,595 approx 20 + 20 times 0,726 approx 20 + 14,52 = 34,52^circ C

Resposta

A temperatura da aleta a da base é aproximadamente .

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